Continuidad de Funciones

Existen una gran variedad de funciones, por lo tanto, con el fin de realizar un análisis significativo, nos enfocaremos en funciones que tienen un comportamiento razonablemente entendible.

Una de las maneras en las que una función es razonablemente entendible es que sea continua. Podemos reconocer que una función es continua cuando esta no tiene ningún corte. En las siguientes gráficas, la función de arriba es continua y la segunda función es discontinua.

Para ser más precisos, la función de arriba es continua en todos los números reales x, mientras la segunda función es discontinua en x=3, pero continua en todos los otros valores de x.

Vamos a definir la continuidad en un punto usando límites para ser más certeros con nuestra definición.

¿Cuál de las siguientes tiene que ser verdadera para que una función f sea continua en un punto a en su dominio?

En la anterior pregunta, vimos la definición:

Ten en cuenta que las funciones pueden ser continuas en unos puntos y discontinuas en otros. Continuidad está definida para cada punto.

Muchas veces decimos que una función es continua si es que es continua en cada punto de su dominio. Entonces, usando esta definición, ¿es la función \(f(x)=\frac{1}{x}\) continua?

Si es que x es continua en a, significa que cuando miramos a puntos cercanos a a y aplicamos la función f a esos puntos, obtenemos puntos cercanos a f(a). Si es que dx representa una cantidad muy pequeña, entonces, cuando la función f es continua en a, f(a+dx) es muy cercana a f(a).

Por ejemplo, en la siguiente gráfica, la función es continua en a, por lo que cambios pequeños en las entradas en a produce cambios pequeños en la salida. Pero podemos ver que es discontinua en b y que cambios muy pequeños en la entrada en b puede producir cambios muy grandes en la salida.

Ahora tenemos tres maneras de pensar en si es que la función f es continua en a:

♦ Tenemos la definición: \(\lim_{x\to a}⁡ f(x)\) existe y es igual a f(a).

♦ Visualmente, la gráfica de f no tiene cortes en a.

♦ Intuitivamente, cambios pequeños en a producen cambios pequeños en la salida de la función f.

La siguiente interactiva es una definición de la continuidad de una gráfica.

Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski

Los polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son continuas en cada punto de su dominio. Además, las combinaciones de funciones continuas también son continuas. Si es que las funciones f y g son continuas, entonces \(f+g, ~f\cdot g,~ \frac{f}{g}\) y \(f \circ g\) también son continuas en cada punto a.

¿Cuántas de las siguientes funciones son continuas en cada punto de su dominio?

Ahora veamos ejemplos de funciones definidas a trozos. ¿Cuántas de las siguientes funciones son continuas en cada punto de sus dominios?

Mencionamos que las funciones continuas tienen un comportamiento razonablemente entendible. Este comportamiento es reflejado en dos teoremas básicos: el teorema del valor extremo (TVE) y el teorema del valor intermedio (TVI).

Si tenemos que la función f es continua en cada punto en un intervalo [a, b]. El teorema del valor extremo dice que f toma un valor máximo y un valor mínimo. Esto significa que hay por lo menos un punto p en el intervalo [a, b] de tal forma que f(p)≥f(x) para todos los valores de x en [a, b] y hay por lo menos un punto q en el intervalo [a, b] de tal forma que f(q)≤f(x) para todos los valores de x en [a, b].

En las siguientes funciones, ¿en dónde está el punto máximo garantizado por el teorema del valor extremo? Debe ser un punto en el eje x, en el intervalo [1, 4].

Vimos que el teorema del valor extremos se relaciona con los valores máximos y mínimos.

También tenemos el teorema del valor intermedio, el cual se relaciona con valores en medio de máximos y mínimos. Por ejemplo, si es que la función f es continua en un intervalo [a, b], entonces por cada número z entre f(a) y f(b), hay algún punto p en [a, b] para el cual f(p)=z. Esto significa que todos los valores intermedios serán topados por la función f.

En la siguiente gráfica, el teorema del valor intermedio garantiza que hay un punto p entre 1 y 6 para el cual f(p)=z, z está marcado en la gráfica. ¿Cuál es el valor de p?

Ten en cuenta que los teoremas del valor extremo y del valor intermedio no aplican si es que la función no es continua. Una función discontinua tal vez falle en tener un valor extremo, se salte un número entre f(a) y f(b) o ambas.

Las siguientes funciones son discontinuas. ¿Cuál función falla en tener un máximo en el intervalo [1, 3] y se salta un número entre f(1) y f(3)?

A)

B)

C)

Sabemos que los polinomios son funciones continuas. Uno de los teoremas que hemos visto es útil para estimar en dónde se encuentran los ceros de los polinomios. ¿Cuál teorema es útil para esto?

A: El teorema del valor extremo (TVE): si es que p es un polinomio y sabemos que p(x)≥0 para cada x en un intervalo [a, b], entonces por TVE hay algún punto q en el cual el polinomio toma un valor mínimo y por lo tanto el polinomio debe ser 0 en q.

B: El teorema del valor intermedio (TVI): si es que p es un polinomio y encontramos puntos a y b en donde p(a) es negativo y p(b) es positivo, entonces por TVI p debe tener un cero en algún lugar entre [a, b].

En esta lección, vimos el teorema del valor extremo el cual nos dice que puntos máximos y mínimos existen, pero no sabemos cómo encontrarlos. En otras lecciones de este curso, aprenderemos a encontrar estos valores extremos usando las derivadas y miraremos aplicaciones de optimización.

También vimos el teorema del valor intermedio. En las próximas lecciones, miraremos un teorema relacionado al TVI, el teorema del valor medio, el cual relaciona valores promedios con tasas instantáneas de cambios.