Conjunto de Julia

En esta lección, vamos a explorar el conjunto de Julia. El conjunto de Julia es desarrollado usando un proceso similar al que usamos para el conjunto de Mandelbrot.

Construimos el conjunto de Julia al escoger un valor c en el plano complejo y luego verificar lo que sucede para cada punto z en el plano complejo al elevar al cuadrado a z y añadir c. Luego elevamos al cuadrado al resultado y añadimos c nuevamente. Luego elevamos el resultado al cuadrado y añadimos c nuevamente y repetimos este proceso indefinidamente:

1. z
2. z²+c
3. (z²+c)²+c
4. ((z²+c)²+c)²+c
   ⋮

Si es que la magnitud del número complejo en cada paso se va hacia infinito, entonces z no es parte del conjunto de Julia para c.

Si es que las magnitudes están limitadas o tienen a 0, entonces z es parte del conjunto de Julia para c.

¿Es verdad que para cada número complejo c, existe por lo menos un punto en el conjunto de Julia?

¿Cuál de los siguientes es el conjunto de Julia para c=0?

Cambios en el valor de c pueden producir cambios muy grandes en los conjuntos de Julia. Una de las mayores diferencias es entre conjuntos conectados y conjuntos desconectados. En la siguiente imagen, el conjunto de la izquierda es conectado y el conjunto de la derecha es desconectado. En conjuntos conectados, podemos conectar cualesquier dos puntos sin levantar el lápiz, pero en los desconectados no podemos lograr esto.

Cuando el conjunto de Julia es desconectado, en verdad está totalmente desconectado lo que significa que no es posible trazar una línea entre cualesquier dos puntos en el conjunto de Julia sin levantar el lápiz. Los conjuntos de Julia desconectados, los cuales sólo consisten de puntos individuales son llamados conjuntos de polvo.

Los conjuntos de Julia conectados sólo son producidos cuando el valor de c es parte del conjunto de Mandelbrot. Explora esto en la siguiente interactiva. Mueve el punto rojo alrededor del conjunto de Mandelbrot y observa que cuando el punto está dentro del conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia es conectado y cuando pasa por afuera, el conjunto se vuelve un conjunto de polvo.

Creado con GeoGebra

El conjunto de Mandelbrot también nos ayuda a predecir cómo se verá el conjunto de Julia.

El conjunto de Mandelbrot sirve como un tipo de índice hacia el conjunto de Julia. Para un punto complejo c, el conjunto de Julia de z²+c es generalmente similar al conjunto de Mandelbrot cerca al punto c.

En la siguiente interactiva, explora la similaridad entre puntos a lo largo del cardioide principal y sus conjuntos de Julia correspondientes.

Creado con GeoGebra

Si es que sólo usamos valores reales de c, obtenemos los siguientes conjuntos de Julia:

¿Cuál de los siguientes es el conjunto de Julia conectado para c=-1.75?

También es posible determinar algunas simetrías para los conjuntos de Julia que son creados con números reales.

Si es que el número complejo z es parte del conjunto de Julia creado de un número real c, ¿cuál de los siguientes también es parte del conjunto de Julia?

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Modelado de Formas Naturales

El modelado de Formas Naturales es una aplicación de los fractales. Algunos fractales pueden ser usados para crear texturas con aspectos de formas encontradas en la naturaleza como ondas, pasto, nubes, entre otros.

Algunas de las siguientes imágenes son fotografías reales y el resto son figuras creadas con fractales. ¿Cuántas son fotografías reales y cuántas son figuras fractales? (Puedes simplemente adivinar esta pregunta).