Los ejercicios de derivación que involucran el cociente de funciones se pueden resolver usando la fórmula de la regla del cociente. Esta fórmula nos permite derivar un cociente de funciones como $latex \frac{f}{g} (x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.
Aquí, veremos el resumen de la regla del cociente. Además, exploraremos varios ejercicios con respuestas para comprender la aplicación de la fórmula de la regla del cociente.
CÁLCULO
Relevante para…
Explorar la regla del cociente de las derivadas con ejercicios.
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Resumen de la regla del cociente
La regla del cociente es una fórmula muy útil para derivar cocientes de funciones. Es una regla que establece que la derivada de un cociente de dos funciones es igual a la función en el denominador g(x) multiplicada por la derivada del numerador f(x) restada al numerador f(x) multiplicada por la derivada del denominador g(x), todo dividido por el cuadrado del denominador g(x).
Esto nos da la fórmula de la regla del cociente como:
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{g(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} f'(x) \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} f(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} g'(x)}{( \hspace{1.15 pt} g(x) \hspace{1.15 pt} )^2}$$
o en una forma más corta, se puede ilustrar como:
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vu’ \hspace{2.3 pt} – \hspace{2.3 pt} uv’}{v^2}$$
donde $latex u = f(x)$ es el numerador/dividendo del problema dado y $latex v = g(x)$ es el denominador/divisor del problema dado.
Puedes usar cualquiera de estas dos formas de la fórmula de la regla del producto según tus preferencias.
Usamos esta fórmula para derivar funciones que tienen la siguiente forma:
$$\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$
o
$$F(x) = \frac{u}{v}$$
donde $latex f(x)$ o $latex u$ es el numerador/dividendo mientras que $latex g(x)$ y $latex v$ es el denominador/divisor del problema dado.
Regla del cociente – Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Deriva lo siguiente:
$$f(x) = \frac{x^3}{x-5}$$
Solución
Tenemos $latex x^3$ como numerador/dividendo y $latex x-5$ como denominador/divisor.
Con base en la fórmula de la regla del cociente, $latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos
$latex u = x^3$
$latex v = x-5$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:
$latex u = x^3$
$latex u’ = 3x^2$
$latex v = x-5$
$latex v’ = 1$
Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(x-5) \cdot (3x^2) – (x^3) \cdot (1)}{(x-5)^2}$$
Simplificando algebraicamente, obtenemos
$$f'(x) = \frac{(3x^3 – 15x^2) – (x^3)}{(x^2-10x+25)}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = \frac{2x^3 – 15x^2}{x^2-10x+25}$$
EJERCICIO 2
¿Cuál es la derivada de lo siguiente?
$$f(x) = \frac{6x^3}{\ln{(x)}}$$
Solución
Basado en lo dado, tenemos $latex 6x^3$ como numerador/dividendo y $latex \ln{(x)}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos
$latex u = 6x^3$
$latex v = \ln{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente:
$latex u = 6x^3$
$latex u’ = 18x^2$
$latex v = \ln{(x)}$
$latex v’ = \frac{1}{x}$
Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\ln{(x)}) \cdot (18x^2) – (6x^3) \cdot (\frac{1}{x})}{(\ln{(x)})^2}$$
Simplificando, obtenemos
$$f'(x) = \frac{18x^2 \ln{(x)} – \frac{6x^3}{x}}{(\ln{(x)})^2}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = \frac{18x^2 \ln{(x)} – 6x^2}{(\ln{(x)})^2}$$
EJERCICIO 3
Deriva la siguiente función:
$$f(x) = \frac{5x^5-x^4}{30x-12x^2}$$
Solución
$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos
$latex u = 5x^5-x^4$
$latex v = 30x-12x^2$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituimos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:
$latex u = 5x^5-x^4$
$latex u’ = 25x^4-4x^3$
$latex v = 30x-12x^2$
$latex v’ = 30-24x$
Al usar la regla del cociente, tenemos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(30x-12x^2) \cdot (25x^4-4x^3) – (5x^5-x^4) \cdot (30-24x)}{(30x-12x^2)^2}$$
Simplificando, obtenemos
$$f'(x) = \frac{(-300x^6+798x^5-120x^4) – (-120x^6+174x^5-30x^4)}{9x^4-72x^3+144x^2}$$
$$f'(x) = \frac{-180x^6+624x^5-90x^4}{9x^4-72x^3+144x^2}$$
$$f'(x) = \frac{-(180x^6-624x^5+90x^4)}{9x^4-72x^3+144x^2}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = -\frac{180x^6-624x^5+90x^4}{9x^4-72x^3+144x^2}$$
EJERCICIO 4
Encuentra la derivada de la siguiente función:
$$f(x) = \frac{x^2}{e^{2x}}$$
Solución
Basado en lo dado, tenemos $latex u=x^2$ como numerador/dividendo y $latex v=e^{(2x)}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos
$latex u = x^2$
$latex v = e^{2x}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
Las derivadas de $latex u$ y $latex v$ son:
$latex u = x^2$
$latex u’ = 2x$
$latex v = e^{2x}$
$latex v’ = 2e^{2x}$
Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{2x}) \cdot (2x) – (x^2) \cdot (2e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$
Simplificando, tenemos:
$$f'(x) = \frac{(2xe^{2x}) – (2x^2 e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$
$$f'(x) = \frac{2xe^{2x}}{(e^{2x})^2} – \frac{2x^2 e^{2x}}{(e^{2x})^2}$$
$$f'(x) = \frac{2x}{e^{2x}} – \frac{2x^2}{e^{2x}}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = \frac{2x – 2x^2}{e^{2x}}$$
EJERCICIO 5
¿Cuál es la derivada de f(x)?
$$f(x) = \frac{\sin{(x)}}{\tan{(x)}}$$
Solución
$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos
$latex u = \sin{(x)}$
$latex v =\tan{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A continuación, derivamos $latex u$ y $latex v$ individualmente:
$latex u = \sin{(x)}$
$latex u’ = \cos{(x)}$
$latex v=\tan{(x)}$
$latex v’ = \sec^{2}{(x)}$
Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin{(x)}) \cdot (\sec^{2}{(x)}) – (\tan{(x)}) \cdot (\cos{(x)})}{(\tan{(x)})^2}$$
Simplificando algebraicamente y aplicando identidades trigonométricas, obtenemos
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin{(x)}) \cdot (\frac{1}{cos^{2}{(x)}}) – (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) \cdot (\cos{(x)})}{\tan^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) \cdot (\frac{1}{cos{(x)}}) – (\sin{(x)}}{\tan^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\tan{(x)} \cdot \sec{(x)} – \sin{(x)}}{\tan^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\tan{(x)} \sec{(x)}}{\tan^{2}{(x)}} – \frac{\sin{(x)}}{\tan^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\tan{(x)} \sec{(x)}}{\tan^{2}{(x)}} – \frac{\sin{(x)}}{(\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}})^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{sec{(x)}}{\tan{(x)}} – \frac{\sin{(x)} \cos^{2}{(x)}}{\sin^{2}{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \left[\frac{\frac{1}{\cos{(x)}}}{\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}}\right] – \left[\sin{(x)} \cdot \frac{cos^{2}{(x)}}{sin^{2}{(x)}}\right]$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\cos{(x)}}{\cos{(x)} \cdot \sin{(x)}} – \frac{cos^{2}{(x)}}{sin{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{\sin{(x)}} – \frac{\sin^{2}{(x)}-1}{sin{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1 – \sin^{2}{(x)} – 1}{sin{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{-\sin^{2}{(x)}}{sin{(x)}}$$
Y la respuesta final es:
$latex f'(x) = -sin{(x)}$
EJERCICIO 6
Deriva la función f(x):
$$f(x) = \frac{\sqrt[5]{x^3}}{x^5+3x^2-4x}$$
Solución
Basado en lo dado, tenemos $latex u=\sqrt[5]{x^3}$ como numerador/dividendo y $latex v=x^5+3x^2-4x$ como denominador/divisor.
$latex u = \sqrt[5]{x^3}=x^{\frac{3}{5}}$
$latex v = x^5+3x^2-4x$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:
$$u = x^{\frac{3}{5}}$$
$$ u’ = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$$
$latex v = x^5+3x^2-4x$
$latex v’ = 5x^4+6x-4$
Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(x^5+3x^2-4x) \cdot \left( \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}} \right) – \left(x^{\frac{3}{5}} \right) \cdot (5x^4+6x-4)}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$
Simplificando, tenemos:
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\left( \frac{3}{5} x^{\frac{23}{5}}+\frac{9}{5} x^{\frac{8}{5}}-\frac{12}{5} x^{\frac{3}{5}} \right) – \left( 5x^{\frac{23}{5}}+6x^{\frac{8}{5}}-4x^{\frac{3}{5}} \right)}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{22}{5} x^{\frac{23}{5}}-\frac{21}{5} x^{\frac{8}{5}}+\frac{8}{5} x^{\frac{3}{5}}}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{-22 x^{\frac{23}{5}} – 21 x^{\frac{8}{5}} + 8 x^{\frac{3}{5}}}{5}}{(x^5+3x^2-4x)^2}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = \frac{8 \sqrt[5]{x^3} -22 \sqrt[5]{x^{23}} – 21 \sqrt[5]{x^8}}{5(x^5+3x^2-4x)^2}$$
en forma radical
EJERCICIO 7
¿Cuál es la derivada de la función dada?
$$f(x) = \frac{\ln{(x)}}{\cos{(x)}}$$
Solución
En este caso, tenemos:
$latex u = \ln{(x)}$
$latex v = \cos{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente:
$latex u = \ln{(x)}$
$latex u’ = \frac{1}{x}$
$latex v = \cos{(x)}$
$latex v’ = -\sin{(x)}$
Después de hacer esto, podemos usar la fórmula de la regla del cociente para derivar nuestro problema dado:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\cos{(x)}) \cdot (\frac{1}{x}) – (\ln{(x)}) \cdot (-\sin{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$
Simplificando la expresión obtenida, tenemos:
$$f'(x) = \frac{(\frac{\cos{(x)}}{x}) – (-\sin{(x)} \ln{(x)})}{(\cos{(x)})^2}$$
$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \sin{(x)} \ln{(x)}}{(\cos{(x)})^2}$$
$$f'(x) = \frac{\frac{\cos{(x)}}{x}) + \frac{x \sin{(x)} \ln{(x)}}{x}}{\cos^{2}{(x)}}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = \frac{\cos{(x)} + x \sin{(x)} \ln{(x)} }{x \cos^{2}{(x)}}$$
EJERCICIO 8
Encuentra la derivada de la función dada:
$$f(x) = \frac{x^3}{\sin^{2}{(x)}}$$
Solución
$latex u$ es el numerador y $latex v$ es el denominador, por lo que tenemos
$latex u = x^3$
$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
Ahora, vamos a derivar a $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:
$latex u = x^3$
$latex u’ = 3x^2$
$latex v = \sin^{2}{(x)}$
$latex v’ = 2 \sin{(x)} \cos{(x)}$
Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(\sin^{2}{(x)}) \cdot (3x^2) – (x^3) \cdot (2 \sin{(x)} \cos{(x)})}{(\sin^{2}{(x)})^2}$$
Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos
$$f'(x) = \frac{(3x^2 \sin^{2}{(x)}) – (2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)})}{\sin^{4}{(x)}}$$
$$f'(x) = \frac{3x^2 \sin^{2}{(x)}}{\sin^{4}{(x)}} – \frac{2x^3 \sin{(x)} \cos{(x)}}{\sin^{4}{(x)}}$$
$$f'(x) = \frac{3x^2}{\sin^{2}{(x)}} – \frac{2x^3 \cos{(x)}}{\sin^{3}{(x)}}$$
$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cdot \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin^{2}{(x)}}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = 3x^2 \csc^{2}{(x)} – 2x^3 \cot{(x)} \csc^{2}{(x)}$$
EJERCICIO 9
¿Cuál es la derivada de la siguiente función?
$$f(x) = \frac{5x^x}{\cos{(3x)}}$$
Solución
Podemos observar lo siguiente:
$latex u = 5x^x$
$latex v = \cos{(3x)}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
Encontrando las derivadas de $latex u$ y $latex v$, tenemos:
$latex u = 5x^x$
$latex u’ = 5x^x \ln{(x)} + 5x^x$
$latex v = \cos{(3x)}$
$latex v’ = -3 \sin{(3x)}$
Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(\cos{(3x)}) \cdot (5x^x \ln{(x)} + 5x^x) – (5x^x) \cdot (-3 \sin{(3x)})}{(\cos{(3x)})^2}$$
Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos
$$f'(x) =\frac{(5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)}) – (-15x^x \sin{(3x)})}{\cos^{2}{(3x)}}$$
$$f'(x) =\frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)} + 5x^x \cos{(3x)} + 15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$
$$f'(x) = \frac{5x^x \cos{(3x)} \ln{(x)}}{\cos^{2}{(3x)}}+ \frac{5x^x \cos{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}} + \frac{15x^x \sin{(3x)}}{\cos^{2}{(3x)}}$$
$$ f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}+ 5x^x \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}} + 15x^x \cdot \frac{\sin{(3x)}}{\cos{(3x)}} \cdot \frac{1}{\cos{(3x)}}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = 5x^x \ln{(x)} \sec{(3x)} + 5x^x \sec{(3x)}+ 15x^x \sec{(3x)} \tan{(3x)}$$
EJERCICIO 10
Encuentra la derivada de la función dada:
$$f'(x) = \frac{x^{e^x}}{e^{\sin{(x)}}}$$
Solución
Tenemos $latex x^{e^x}$ como numerador/dividendo y $latex e^{\sin{(x)}}$ como denominador/divisor. Por lo tanto, tenemos
$latex u = x^{e^x}$
$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex f(x) = \frac{u}{v}$
A continuación, derivemos $latex u$ y $latex v$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:
$latex u = x^{e^x}$
$latex u’ = x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}$
$latex v = e^{\sin{(x)}}$
$latex v’ = e^{\sin{(x)}} \cos{(x)}$
Al sustituir $latex u$, $latex v$, $latex u’$ y $latex v’$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:
$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu’-uv’}{v^2}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) =\frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x}) – (x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$
Simplificando algebraicamente y aplicando algunas identidades trigonométricas, obtenemos
$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{(e^{\sin{(x)}}) \cdot (x^{e^x} e^x \ln{(x)} + \frac{x^{e^x} e^x}{x})}{(e^{\sin{(x)}})^2}– \frac{(x^{e^x}) \cdot (e^{\sin{(x)}} \cos{(x)})}{(e^{\sin{(x)}})^2}$$
$$ \frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x)}{x} – x^{e^x} \cos{(x)}}{e^{\sin{(x)}}}$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{x}}{e^{\sin{(x)}}}$$
$$f'(x) = \frac{x^{e^x} (xe^x \ln{(x)} + e^x) – x^{e^x} (x \cos{(x)})}{xe^{\sin{(x)}}}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = \frac{x^{e^x} \left[ (e^x (x \ln{(x)} + 1)) – x \cos{(x)} \right]}{xe^{\sin{(x)}}}$$
Regla del cociente – Ejercicios para resolver
Encuentra la derivada de la siguiente función y determina el valor de $latex f^{\prime}(1)$. $$f(x) = \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}} \right)^2$$
Escribe la respuesta en la casilla.
Veáse también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
