Problemas con el Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es una de las ecuaciones más importantes en las matemáticas, ya que nos permite usar álgebra en la geometría. Este teorema nos dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Con el teorema de Pitágoras, podemos resolver una gran cantidad de problemas de geometría. De hecho, este teorema es útil en varias áreas de la Ingeniería y hasta en la Arquitectura.

A continuación, aprenderemos a resolver este tipo de problemas.

GEOMETRÍA
ejericio de teorema de pitagoras 1

Relevante para

Aprender a resolver problemas con el teorema de Pitágoras.

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GEOMETRÍA
ejericio de teorema de pitagoras 1

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¿Cómo resolver problemas con el teorema de Pitágoras?

Para resolver problemas con el teorema de Pitágoras, debemos leer cuidadosamente el tipo de problema que tenemos y determinar lo que queremos encontrar. Podemos usar el teorema de Pitágoras cuando tenemos la longitud de dos lados de un triángulo rectángulo y queremos encontrar la longitud del tercer lado.

Dependiendo del lado que queremos encontrar, tenemos dos casos diferentes:

  • Tenemos las longitudes de dos catetos y queremos encontrar la longitud de la hipotenusa.
  • Tenemos las longitudes de un cateto y la hipotenusa y queremos encontrar la longitud del otro cateto.

En el siguiente triángulo, la hipotenusa es el lado c (lado opuesto al ángulo recto) y los catetos son los lados a y b:

triángulo rectángulo con lados y ángulos

El teorema de Pitágoras es:

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

Entonces, si es que conocemos las longitudes de los dos catetos, simplemente sustituimos los valores en la ecuación para obtener la longitud de la hipotenusa.

Sin embargo, si es que queremos encontrar la longitud de un cateto, podemos usar una de las variaciones del teorema de Pitágoras:

$latex {{a}^2}={{c}^2}-{{b}^2}$

$latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$


Problemas con el teorema de Pitágoras resueltos

El teorema de Pitágoras y sus variaciones son usadas para resolver algunos problemas de aplicación del teorema de Pitágoras. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJEMPLO 1

Dado el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor de X.

ejericio de teorema de pitagoras 1

En este caso, tenemos las longitudes de los catetos y queremos encontrar la longitud de la hipotenusa. Entonces, reconocemos los siguientes valores:

  • a=6
  • b=8

Ahora, sustituimos estos valores en el teorema de Pitágoras y resolvemos:

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

$latex {{c}^2}={{6}^2}+{{8}^2}$

$latex {{c}^2}=36+64$

$latex {{c}^2}=100$

$latex c=\sqrt{100}$

$latex c=10$

La longitud de es 10.

EJEMPLO 2

Si es que tenemos las siguientes longitudes, ¿cuál es el valor de Y?

ejericio de teorema de pitagoras 2

Aquí, tenemos la longitud de un cateto y la longitud de la hipotenusa y queremos encontrar la longitud del otro cateto. Entonces, reconocemos lo siguiente:

  • a=12
  • c=13

Usamos una de las variaciones del teorema de Pitágoras y resolvemos:

$latex {{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}$

$latex {{b}^2}={{13}^2}-{{12}^2}$

$latex {{b}^2}=169-144$

$latex {{b}^2}=25$

$latex b=5$

La longitud de b es 5.

EJEMPLO 3

Un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes 8 m y 11 m, ¿cuál es la longitud de su hipotenusa?

El problema nos da las longitudes de los catetos del triángulo:

  • a=8
  • b=11

Entonces, aplicamos el teorema de Pitágoras con estos valores y resolvemos:

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

$latex {{c}^2}={{8}^2}+{{11}^2}$

$latex {{c}^2}=64+121$

$latex {{c}^2}=185$

$latex c=13.6$

La hipotenusa tiene una longitud de 13.6 m.

EJEMPLO 4

Dos hermanos salen a caminar al mismo tiempo, uno de ellos se va hacia el sur y el otro hacia el oeste. Después de media hora, el hermano que fue hacia el sur ha caminado 700 metros y el hermano que fue hacia el oeste ha caminado 850 metros.

¿Cuál es la distancia más corta entre ambos en ese momento?

Para resolver el problema con mayor facilidad, vamos a usar el siguiente diagrama:

ejericio de teorema de pitagoras 3

Podemos ver que las direcciones sur y oeste forman un ángulo recto. Además, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta que une a los puntos. Por lo tanto, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de esa línea:

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

$latex {{c}^2}={{700}^2}+{{850}^2}$

$latex {{c}^2}=490000+722500$

$latex {{c}^2}=1212500$

$latex c=1101.1$

Entonces, la distancia más corta entre los hermanos es 1101.1 metros.

EJEMPLO 5

El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles es igual a 128 m². ¿Cuál es la longitud de uno de los catetos?

Conocemos el cuadrado de la hipotenusa. Además, sabemos que los catetos de un triángulo rectángulo isósceles tienen la misma longitud. Entonces, podemos ilustrar este problema con el siguiente diagrama:

problema de teorema de Pitágoras

Ahora, aplicamos el teorema de Pitágoras con esta información y tenemos:

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

$latex 128={{a}^2}+{{a}^2}$

$latex 128=2{{a}^2}$

$latex {{a}^2}=\frac{128}{2}$

$latex {{a}^2}=64$

$latex a=8$

Entonces, la longitud de cada cateto es igual a 8 m.

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Problemas con el teorema de Pitágoras para resolver

Usa el teorema de Pitágoras y sus variaciones para resolver los siguientes problemas. Si necesitas ayuda con esto, usa los problemas resueltos de arriba.

Un triángulo rectángulo tiene los catetos a=3 y b=4. ¿Cuál es su hipotenusa?

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Si es que un triángulo rectángulo tiene los catetos a=9 y b=12, ¿cuál es su hipotenusa?

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Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 25m y un cateto de 15m. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?

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Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 13m y una hipotenusa que mide 18m. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?

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Véase también

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