Los ejercicios de punto medio de un segmento pueden ser resueltos aplicando la fórmula del punto medio. Esta fórmula es derivada considerando que las coordenadas del punto medio son encontradas al sumar las coordenadas respectivas de los puntos y dividir por 2.
A continuación, haremos una revisión de la fórmula del punto medio y la aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a resolver ejercicios de punto medio de un segmento.
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Revisión de la fórmula del punto medio de un segmento
Podemos calcular las coordenadas del punto medio de un segmento considerando que las coordenadas en x del punto medio son iguales a la mitad de la suma de las coordenadas en x de los dos puntos que definen al segmento.
De igual forma, las coordenadas en y del punto medio son iguales a la mitad de la suma de las coordenadas en y de los dos puntos. Entonces, si es que tenemos los puntos A y B con las coordenadas $latex A=(x_{1}, y_{1})$ y $latex B=(x_{2}, y_{2})$, la fórmula del punto medio es:
| Fórmula del punto medio $latex M=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ |
El punto medio será expresado como las coordenadas $latex M=(x_{3}, y_{3})$.
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Ejercicios resueltos de punto medio de un segmento
Cada uno de los siguientes ejercicios tiene su respectiva solución. Sin embargo, intenta resolver los ejercicios tú mismo aplicando la fórmula del punto medio de un segmento.
EJERCICIO 1
¿Cuál es el punto medio entre los puntos (2, 6) y (8, 12)?
Solución
Tenemos las siguientes coordenadas:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(2, 6)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(8, 12)$
Usamos las coordenadas dadas en la fórmula del punto medio:
$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{2+8}{2},\frac{6+12}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{10}{2},\frac{18}{2}\right)$
$latex =(5, 9)$
Las coordenadas del punto medio son $latex M=(5, 9)$.
EJERCICIO 2
Determina el punto medio entre los puntos (5, 7) y (9, 13).
Solución
Tenemos los siguientes puntos:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(5, 7)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(9, 13)$
Aplicamos la fórmula del punto medio con estos puntos:
$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{5+9}{2},\frac{7+13}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{14}{2},\frac{20}{2}\right)$
$latex =(7,10)$
Las coordenadas del punto medio son $latex M=(7, 10)$.
EJERCICIO 3
Encuentra el punto medio si es que tenemos los puntos (-5, -6) y (6, -2).
Solución
Escribimos a las coordenadas de la siguiente manera:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-5, -6)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(6, -2)$
En este caso, tenemos coordenadas negativas, pero simplemente usamos la fórmula del punto medio como en los anteriores ejercicios:
$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{-5+6}{2},\frac{-6-2}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{1}{2},\frac{-8}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{1}{2}, -4\right)$
El punto medio tiene las coordenadas $latex M=\left(\frac{1}{2}, -4\right)$.
EJERCICIO 4
Tenemos los puntos (p, -2) y (8, 10). Encuentra el valor de p si es que el punto medio es (2, 4).
Solución
Tenemos la siguiente información:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(p, -2)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(8, 10)$
- $latex (x_{3}, y_{3})=(2, 4)$
Al aplicar la fórmula del punto medio con la información dada, tenemos:
$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{p+8}{2},\frac{-2+10}{2}\right)$
En este caso, tenemos que encontrar el valor de p, el cual es parte de las coordenadas x del punto medio. Entonces, formamos una ecuación considerando que el punto medio dado tiene una coordenada en x de 2:
$latex 2=\left(\frac{p+8}{2}\right)$
$latex 2=p+8$
$latex p=-6$
El valor de p es -6.
EJERCICIO 5
Si es que el diámetro de un círculo está definido por los puntos (-4, 2) y (2, 8), ¿cuáles son las coordenadas del centro del círculo?
Solución
Tenemos los siguientes valores:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-4,2)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(2,8)$
El centro del círculo está ubicado exactamente en la mitad del diámetro, por lo que encontramos el punto medio de los dos puntos dados:
$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{-4+2}{2},\frac{2+8}{2}\right)$
$latex =\left(\frac{-2}{2},\frac{12}{2}\right)$
$latex =(-1,7)$
El centro del círculo está ubicado en $latex (-1, 7)$.
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Ejercicios para resolver de punto medio de un segmento
Usa la fórmula del punto medio con la información dada para resolver los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
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Véase también
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