Distancia en el Plano Cartesiano - Fórmula y Ejercicios

La distancia en el plano cartesiano es la longitud de la línea que conecta a dos puntos, un punto inicial y un punto final. Esta distancia puede ser encontrada al usar una fórmula y sustituir las coordenadas de los dos puntos dados. A su vez, la fórmula de la distancia es derivada al usar el teorema de Pitágoras en el plano cartesiano.

A continuación, conoceremos la fórmula que podemos usar para encontrar las distancias en el plano cartesiano. Luego, usaremos esta fórmula para resolver algunos ejercicios prácticos.

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formula para la distancia en el plano cartesiano

Relevante para…

Aprender a calcular la distancia en el plano cartesiano con ejercicios.

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¿Cómo encontrar distancias en el plano cartesiano?

Una distancia en el plano cartesiano puede ser encontrada si es que conocemos las coordenadas de los puntos inicial y final de esa distancia. Entonces, podemos usar los siguientes pasos para encontrar distancias en el plano cartesiano:

Paso 1: Determinar las coordenadas de los dos puntos dados en el plano cartesiano. Por ejemplo, podemos tener los puntos $A=(x_{1}, y_{1})$ y $B=(x_{2}, y_{2})$ .

Paso 2: Aplica la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre los puntos dados.

d=\sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}

La fórmula de la distancia es derivada al usar el teorema de Pitágoras, en donde la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la distancia y los catetos son iguales a las distancias en el eje x y el eje y.

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Distancias en el plano cartesiano ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios pueden ser usados para aprender el proceso usado para encontrar distancias en el plano cartesiano. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

¿Cuál es la distancia entre los puntos (2, 1) y (6, 4) en el plano cartesiano?

Solución

Podemos escribir a los puntos dados en la siguiente forma:

$(x_{1}, y_{1})=(2, 1)$
$(x_{2}, y_{2})=(6, 4)$

Entonces, tenemos que usar la fórmula de la distancia con los valores dados y tenemos:

$d=\sqrt{{{(x_{2}-x{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$

$=\sqrt{{{(6-2)}^2}+{{(4-1)}^2}}$

$=\sqrt{{{(4)}^2}+{{(3)}^2}}$

$=\sqrt{16+9}$

$=\sqrt{25}$

$=5$

La distancia entre los puntos dados es 5.

EJERCICIO 2

Si es que tenemos los puntos (3, 5) y (8, 10), ¿cuál es la distancia en el plano cartesiano?

Solución

Similar al ejercicio anterior, podemos escribir en la siguiente forma:

$(x_{1}, y_{1})=(3, 5)$
$(x_{2}, y_{2})=(8, 10)$

Ahora, usamos las coordenadas de los puntos dados en la fórmula de la distancia y tenemos:

$d=\sqrt{{{(x_{2}-x{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$

$=\sqrt{{{(8-3)}^2}+{{(10-5)}^2}}$

$=\sqrt{{{(5)}^2}+{{(5)}^2}}$

$=\sqrt{25+25}$

$=\sqrt{50}$

$=7.07$

La distancia es igual a 7.07.

EJERCICIO 3

Determina la distancia entre los puntos (8, 4) y (6, 10).

Solución

En este caso, tenemos las coordenadas:

$(x_{1}, y_{1})=(8, 4)$
$(x_{2}, y_{2})=(6, 10)$

Usando estos valores en la fórmula de la distancia, tenemos:

$d=\sqrt{{{(x_{2}-x{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$

$=\sqrt{{{(6-8)}^2}+{{(10-4)}^2}}$

$=\sqrt{{{(-2)}^2}+{{(6)}^2}}$

$=\sqrt{4+36}$

$=\sqrt{40}$

$=6.325$

La distancia en el plano cartesiano es igual a 6.325.

EJERCICIO 4

Si es que tenemos los puntos (-4, -2) y (4, 7), ¿cuál es su distancia?

Solución

Podemos escribir de la siguiente forma:

$(x_{1}, y_{1})=(-4, -2)$
$(x_{2}, y_{2})=(4, 7)$

En este caso, tenemos un punto con coordenadas negativas, sin embargo, podemos calcular su distancia de la misma forma usando la fórmula:

$d=\sqrt{{{(x_{2}-x{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$

$=\sqrt{{{(4-(-4))}^2}+{{(7-(-2))}^2}}$

$=\sqrt{{{(8)}^2}+{{(9)}^2}}$

$=\sqrt{64+81}$

$=\sqrt{145}$

$=12.04$

La distancia es igual a 12.04.

EJERCICIO 5

¿Cuál es la distancia en el plano cartesiano de los puntos (-5, -7) y (-2, 1)?

Solución

Escribimos las coordenadas dadas de la siguiente manera:

$(x_{1}, y_{1})=(-5, -7)$
$(x_{2}, y_{2})=(-2, 1)$

Similar al ejercicio anterior, simplemente tenemos que usar la fórmula de la distancia sin importar que tengamos coordenadas negativas.

$d=\sqrt{{{(x_{2}-x{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$

$=\sqrt{{{(-2-(-5))}^2}+{{(1-(-7))}^2}}$

$=\sqrt{{{(3)}^2}+{{(8)}^2}}$

$=\sqrt{9+64}$

$=\sqrt{73}$

$=8.54$

La distancia es igual a 8.54.

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Distancia en el plano cartesiano ejercicios para resolver

Aplica la fórmula de la distancia para resolver los siguientes ejercicios de distancia en el plano cartesiano. Selecciona una respuesta y verifícala para comprobar que es la correcta.