Ejercicios de Ecuaciones Lineares con dos Incógnitas

Paso 1: Reemplazar: Tenemos que $latex y=5$, entonces, reemplazamos:

$latex 3x-4y=10$

$latex 3x-4(5)=10$

$latex 3x-20=10$

Paso 2: Simplificar: No tenemos nada para simplificar:

Paso 3: Despejar la variable: Sumamos 20 a ambos lados:

$latex 3x-20=10$

$latex 3x-20+20=10+20$

$latex 3x=30$

Paso 4: Resolvemos: Dividimos ambos lados por 3:

$$\frac{3x}{3}=\frac{30}{3}$$

$latex x=10$

Paso 1: Reemplazar: Tenemos que $latex y=-3$, entonces, reemplazamos:

$latex -3x+5y=-6$

$latex -3x+5(-3)=-6$

$latex -3x-15=-6$

Paso 2: Simplificar: No tenemos términos semejantes.

Paso 3: Despejar la variable: Sumamos 15 a ambos lados:

$latex -3x-15+15=-6+15$

$latex -3x=9$

Paso 4: Resolvemos: Dividimos ambos lados por -3:

$$\frac{-3x}{-3}=\frac{9}{-3}$$

$latex x=-3$

1. Reemplazamos el valor de la variable: 

$latex 2x+4(2)=10-x+7$

$latex 2x+8=10-x+7$

2. Simplificamos: 

• No tenemos paréntesis.
• No tenemos fracciones.
• Combinamos términos semejantes: $latex 2x+8=17-x$.

3. Despejamos la variable: movemos el 8 hacia la derecha y el –x hacia la izquierda: 

$latex 2x+8-8=17-x-8$

$latex 2x=9-x$

$latex 2x+x=9-x+x$

$latex 3x=9$

4. Despejamos completamente a la $latex x$: dividimos ambos lados por 3: 

$$\frac{3}{3}x=\frac{{9}}{3}$$

$$x=\frac{{9}}{3}=3$$

5. Verificamos la respuesta: reemplazamos los valores de las variables en la ecuación original:

$latex 2(3)+4(2)=10-(3)+7$

$latex 6+8=10-3+7$

$latex 14=14$

Esto es verdadero

Respuesta: $latex y=2,   x=3$.

1. Reemplazamos el valor de la variable: 

$$5(4)-2y+5=12-3(4)+15$$

$latex 20-2y+5=12-12+15$

2. Simplificamos: 

• No tenemos paréntesis.
• No tenemos fracciones.
• Combinamos términos semejantes: $latex 25-2y=15$.

3. Despejamos la variable: movemos el 25 hacia la derecha: 

$latex 25-2y-25=15-25$

$latex -2y=-10$

4. Despejamos completamente a la $latex y$: dividimos ambos lados por -2: 

$$\frac{-2}{-2}y=\frac{{-10}}{-2}$$

$$y=\frac{{-10}}{-2}=5$$

5. Verificamos la respuesta: reemplazamos los valores de las variables en la ecuación original:

$$5(4)-2(5)+5=12-3(4)+15$$

$latex 20-10+5=12-12+15$

$latex 15=15$

Esto es verdadero

Respuesta: $latex y=5,   x=4$.

Paso 1: Reemplazar: Tenemos que $latex x=-2$, entonces, reemplazamos:

$latex 4y+2(2y+3)=3(-2)-4$

$latex 4y+2(2y+3)=-6-4$

Paso 2: Simplificar: Expandimos el paréntesis y combinamos términos semejantes:

$latex 4y+2(2y+3)=-6-4$

$latex 4y+4y+6=-10$

$latex 8y+6=-10$

Paso 3: Despejar la variable: Restamos 6 a ambos lados:

$latex 8y+6-6=-10-6$

$latex 8y=-16$

Paso 4: Resolvemos: Dividimos ambos lados por 8:

$$\frac{8y}{8}=\frac{16}{-8}$$

$latex y=-2$

No tenemos ningún valor de alguna variable dado, entonces, esta ecuación tiene un número infinito de soluciones. Por ejemplo, supongamos que $latex x=1$, entonces tendríamos:

$latex 3x-2y=20+x$

$latex 3(1)-2y=20+1$

$latex 3-2y=21$

$latex -2y=21-3$

$latex -2y=18$

$latex y=-9$

Ahora, supongamos que $latex x=2$, entonces tendríamos:

$latex 3x-2y=20+x$

$latex 3(2)-2y=20+2$

$latex 6-2y=22$

$latex -2y=22-6$

$latex -2y=16$

$latex y=-8$

Podríamos seguir el proceso con diferentes valores de $latex x$ y siempre obtendríamos respuestas diferentes. Esto significa que hay un número infinito de soluciones.

1. Reemplazamos el valor de la variable: 

 $latex 6+4(y+2)=10+2y+2(6)$

$latex 6+4(y+2)=10+2y+12$

2. Simplificamos: 

• Simplificamos paréntesis: $latex 6+4y+8=10+2y+12$.
• No tenemos fracciones.
• Combinamos términos semejantes: $latex 4y+14=2y+22$.

3. Despejamos la variable: movemos el 14 hacia la derecha y el 2y hacia la izquierda: 

$latex 4y+14-14=2y+22-14$

$latex 4y=2y+8$

$latex 4y-2y=2y+8-2y$

$latex 2y=8$

4. Despejamos completamente a la $latex y$: dividimos ambos lados por 2: 

$$\frac{2}{2}y=\frac{{8}}{2}$$

$$y=\frac{{8}}{2}=4$$

5. Verificamos la respuesta: reemplazamos los valores de las variables en la ecuación original:

$$6+4(4+2)=10+2(4)+2(6)$$

$latex 6+4(6)=10+8+12$

$latex 30=30$

Esto es verdadero

Respuesta: $latex y=4,   x=6$

Paso 1: Reemplazar: Reemplazamos $latex z=5$ en la ecuación:

$latex 4y+2(5)=2(3y+10)+5-11$

$latex 4y+10=2(3y+10)+5-11$

Paso 2: Simplificar: Expandimos el paréntesis y combinamos términos semejantes:

$latex 4y+10=6y+20+5-11$

$latex 4y+10=6y+14$

Paso 3: Despejar la variable: Restamos 10 y 6y a ambos lados:

$latex 4y+10-10=6y+14-10$

$latex 4y=6y+4$

$latex 4y-6y=6y+4-6y$

$latex -2y=4$

Paso 4: Resolvemos: Dividimos ambos lados por -2:

$$\frac{-2y}{-2}=\frac{4}{-2}$$

$latex y=-2$

1. Reemplazamos el valor de la variable: 

$$\frac{1}{3}x+2(2)+\frac{1}{2}x=2+x+1$$

$$\frac{1}{3}x+4+\frac{1}{2}x=2+x+1$$

2. Simplificamos: 

• No tenemos paréntesis.
• Simplificamos fracciones: multiplicamos por 6: $latex 2x+24+3x=12+6x+6$.
• Combinamos términos semejantes: $latex 5x+24=18+6x$.

3. Despejamos la variable: movemos el 24 hacia la derecha y el 6x hacia la izquierda: 

$latex 5x+24-24=18+6x-24$

$latex 5x=6x-6$

$latex 5x-6x=6x-6-6x$

$latex -x=-6$

4. Despejamos completamente a la $latex x$: dividimos ambos lados por -1: 

$$\frac{-1}{-1}x=\frac{{-6}}{-1}$$

$$x=\frac{{-6}}{-1}=6$$

5. Verificamos la respuesta: reemplazamos los valores de las variables en la ecuación original:

$$\frac{1}{3}(6)+2(2)+\frac{1}{2}(6)=(2)+(6)+1$$

$latex 2+4+3=2+6+1$

$latex 9=9$

Esto es verdadero

Respuesta: $latex y=2,   x=6$

Paso 1: Reemplazar: Tenemos que $latex y=-3$, entonces, reemplazamos:

$$\frac{-3+1}{2}+2x=2(2(-3)+6)+x+2$$

$$\frac{-3+1}{2}+2x=2(-6+6)+x+2$$

Paso 2: Simplificar: Combinamos términos semejantes y simplificamos:

$$\frac{-2}{2}+2x=2(0)+x+2$$

$latex -1+2x=x+2$

Paso 3: Despejar la variable: Sumamos 1 y restamos x a ambos lados:

$latex -1+2x+1=x+2+1$

$latex 2x=x+3$

$latex 2x-x=x+3-x$

$latex x=3$

Paso 4: Resolvemos: Ya no tenemos que dividir:

$latex x=3$

Paso 1: Reemplazar: En este caso no tenemos ningún valor dado, por lo que automáticamente, la ecuación tiene un número infinito de soluciones. Por ejemplo, supongamos que tenemos $latex x=0$, entonces, tendríamos:

$latex 2x+2y=3x+10$

$latex 2(0)+2y=3(0)+10$

$latex 2y=10$

$latex y=5$

Si es que ahora tenemos $latex x=1$, tenemos:

$latex 2x+2y=3x+10$

$latex 2(1)+2y=3(1)+10$

$latex 2+2y=3+10$

$latex 2+2y=13$

$latex 2y=15$

$latex y=15/2$

Podríamos seguir con diferentes valores y cada vez obtendríamos resultados diferentes, por lo que al no tener un valor especificado de una variable, la ecuación tiene infinitas soluciones.