Teorema del Valor Medio

Si es que tenemos una función f(t) la cual representa la distancia viajada en kilómetros durante un viaje de auto, en donde t es en horas. Suponiendo que f(1)=30 y f(3)=150. Entonces, el auto viajó 120 kilómetros en las 2 horas entre t=1 y t=3 y podemos decir que la velocidad promedio durante las dos horas es 120/2=60 kph.

Generalmente, la tasa promedio de variación de una función f entre x=a y x=b es el cambio total en f dividido por el cambio en x:

Recuerda que definimos a la derivada como:

Esto significa que la tasa instantánea de cambio es el límite de la tasa promedio de cambio sobre intervalos más y más pequeños.

En el anterior problema, en donde el auto viajó 120 kilómetros en 2 horas, ¿cuál de las siguientes es una posible descripción de ese periodo de dos horas?

De la anterior pregunta, podemos intuir que es imposible tener un promedio de una cierta velocidad si es que nuestra velocidad instantánea siempre es menor que o mayor que esa velocidad. Es decir, si es que tenemos un promedio de 60 kph sobre ese viaje de dos horas, nuestro velocímetro debió haber leído 60 kph por lo menos una vez durante ese tiempo.

Este enunciado es denominado el teorema del valor medio o TVM. Este teorema tiene implicaciones reales. Si es que estamos en una carretera con un límite de velocidad de 60 kph, y los medidores de velocidad en diferentes puntos muestran que viajamos 80 kilómetros en una hora, el TVM dice que en algún punto debimos haber tenido una velocidad exacta de 70 kph, por lo que a pesar de que tal vez no pasamos a una velocidad mayor a 60 kph en los medidores, sí hubo exceso de velocidad en algún punto.

Visualmente, esto significa que debe haber un punto c en donde la línea tangente es paralela a la línea secante naranja de abajo, dado que la pendiente de la línea secante es \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Tenemos que f(x)=x², a=1, b=2.

El TVM dice que hay por lo menos un punto c entre a y b en donde la derivada \(f'(c)\) es igual a la tasa de variación promedio de f(x) sobre el intervalo [a, b]. ¿Cuál es el valor exacto de c para esta función particular f?

Si es que ahora tenemos que f(x)=|x|, a=-1 y b=2, ¿qué podemos decir sobre el teorema del valor medio para f entre x=a y x=b?

Si es que una función f es diferenciable en todos lados y f(a)=f(b). Entonces, el TVM dice que hay un punto c entre a y b de tal forma que:

Eso significa que hay por lo menos un punto en donde la línea tangente es horizontal:

Este caso especial del TVM se llama el teorema de Rolle.

Si es que la gráfica de la función es simplemente una línea horizontal, entonces, la derivada es 0 en todos lados.

Si es que la gráfica no es una línea horizontal, entonces, por el teorema del valor extremo, hay un punto c entre a y b en donde la función tiene un máximo. Dado que este no es uno de los puntos extremos, no sólo es un máximo, sino un máximo local. Por lo tanto, sabemos que \(f'(c)=0\).

El TVM nos permite verificar que algunas de nuestras ideas naturales sobre la derivada son correctas. Por ejemplo, si es que tenemos que \(f'(x)>0\) en todos lados en un intervalo, entonces, esperamos que f está incrementando en ese intervalo.

Tomando dos números reales a y b en el intervalo, en donde a<b, entonces, el TVM dice que hay algún valor c entre a y b de tal forma que \(f’ (c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Dado que \(f'(c)\) es positivo y b-a es positivo, entonces f(b)-f(b) también es positivo, por lo tanto, f(a)<f(b). Esto muestra que f está incrementando.

De igual forma, podemos probar que, si es que \(f'(x)<0\) en un intervalo, entonces, f está decreciendo y \(f'(x)=0\) en todos lados en un intervalo, y entonces f es constante.

Si es que tenemos una función, la cual sí tiene una derivada en todos lados y también tenemos que la ecuación \(f'(x)=0\) tiene exactamente una solución, ¿cuáles de las siguientes es falsa?