Sistema de Coordenadas Polares

Ya estamos familiarizados con el sistema tradicional de coordenadas (x, y), el sistema cartesiano, en donde, el primer valor indica la distancia horizontal y el segundo valor indica la distancia vertical.

En esta lección, exploraremos el sistema de coordenadas polares, (r, θ).

El ángulo θ es medido en sentido contrario a las manecillas del reloj empezando desde el eje x positivo.

Si es que empezamos desde el origen y vamos r unidades hacia adelante en la dirección del ángulo, r es positivo y si es que vamos hacia atrás en la dirección del ángulo, r es negativo.

¿Cuál punto es (-3, π/4)?

Con coordenadas polares, podemos representar al mismo punto de diferentes problemas. Por ejemplo, en el anterior problema, \((-3,\frac{\pi}{4})\) y \((3,\frac{5\pi}{4})\) se referían al mismo punto.

También es posible representar al mismo punto con diferentes valores del ángulo.

Usa la gráfica interactiva para determinar cuándo dos coordenadas polares (r, a) y (r, b) son las mismas.

Creado con GeoGebra

Si es que mantenemos a r constante a medida que (r, a) cambia a (r, b), el punto viajará alrededor de un círculo.

Si es que sumamos 2π al ángulo a, el punto girará un círculo completo y terminará en donde empezó. Esto significa que (r, a) y (r, a+2π) son equivalentes.

Obtendremos el mismo resultado al sumar cualquier múltiplo de 2π.

Al sumar π a a, el punto es rotado por un medio círculo y al multiplicar r por -1, hará que vayamos hacia atrás hasta la ubicación original del punto. Esto significa que (r, a) y (-r, a+π) son equivalentes. Obtendremos el mismo resultado al sumar cualquier múltiplo impar de π a a y revertir el signo de r.

Creado con GeoGebra

¿Cuál de los siguientes puntos está más alejado del origen?

Con coordenadas polares, podemos graficar ecuaciones usando r y θ en vez de x y y.

En la siguiente gráfica, el dominio para θ es restringido a números mayores o iguales que 0. ¿Cuál ecuación representa a la gráfica?

Creado con GeoGebra

Debido a la naturaleza recurrente y giratoria de las gráficas polares, muchas veces el dominio tiene que ser especificado.

En el anterior problema, teníamos una gráfica de r=θ con θ especificado para todos los valores mayores o iguales a 0.

Si es que dejamos que θ sea todos los números reales incluyendo números negativos, ¿qué sucederá con la gráfica?

Creado con GeoGebra

Si es que dejamos afuera a θ, una ecuación como r=4 es un círculo, como en la siguiente gráfica.

Si es que dejamos afuera a r, y obtenemos una ecuación como θ=3, ¿cómo se verá la gráfica?

En esta lección, aprendimos a graficar puntos en coordenadas polares (r, θ) al rotar por un ángulo θ e ir hacia adelante o hacia atrás por un valor de r, dependiendo si es que r es positivo o negativo.

En las siguientes lecciones, exploraremos las gráficas polares de seno y coseno, por ejemplo, en la siguiente animación tenemos y=sin(x) y r=sin(θ).

Creado con GeoGebra