Simetría Probabilística

Tu amigo tiene una baraja de cartas enumeradas desde el 1 al 100 y te propone una apuesta. Sugiere que luego de barajar las cartas, si es que la primera carta tiene un número mayor que la segunda carta, le tienes que pagar $10, caso contrario, él te paga $10. ¿Es esta apuesta justa y equitativa?

Considera a una apuesta justa como una en la que tienes un 50 por ciento de probabilidades de ganar.

Tu amigo propone otra apuesta. Él barajará las cartas y esta vez, si es que da la vuelta a la carta 25 y esta tiene un número mayor que el número en la carta 75 que dé la vuelta, le tienes que pagar $10, caso contrario, él te paga $10. ¿Es esta apuesta justa y equitativa?

Considera a una apuesta justa como una en la que tienes un 50 por ciento de probabilidades de ganar.

Simetría es uno de los argumentos más útiles en probabilidad y combinatorias. Si es que podemos emparejar posibilidades con iguales probabilidades de dos casos diferentes más embarcadores, entonces, podemos decir que estos dos casos tienen la misma probabilidad de suceder. Esto también funciona con la esperanza matemática. Por ejemplo, dado que el lanzamiento de monedas y las probabilidades de obtener caras y sellos son simétricas, si es que lanzamos muchas monedas, podemos esperar que la mitad resulte en caras y la otra mitad en sellos.

Tienes 12 cartas de sólo números y añades un Joker a esas cartas. Luego, las barajeas completamente de tal forma que cada posible permutación es igual de probable.
Luego, empiezas a voltear las cartas hasta que ves el Joker. ¿Cuál es el número esperado de cartas que tienes que voltear antes de que veas el Joker?

Un palo de madera longitud 1 es quebrado en dos piezas a lo largo de su longitud y la posición es escogida uniformemente al azar. ¿Qué tan largo esperas que sea el pedazo más grande?