Rotaciones a Vectores

En la anterior lección, aplicamos la transformación \(T(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) a la imagen de arriba, y obtuvimos la imagen de abajo

¿Cuál es una descripción general de la transformación?

En el anterior problema vimos un caso especial de transformación con matrices, la cual produce una rotación. La transformación usa una matriz M la cual contiene un ángulo θ de tal forma que T(C)=MC produce una rotación de θ grados en dirección contraria a las manecillas del reloj en C.

En esta lección, nos enfocaremos en derivar esta transformación. Para esto necesitaremos usar las sumas de senos y coseno:

sin⁡(α+β)=sin⁡(α) cos⁡(β)+cos⁡(α) sin⁡(β)
cos⁡(α+β)=cos⁡(α) cos⁡(β)-sin⁡(α) sin⁡(β)

En el siguiente diagrama tenemos un punto con un ángulo de α. Si es que lo rotamos, la coordenada en x del punto será cos⁡(α+30°). Recordando que la identidad de la suma de cosenos es cos⁡(a+b)=cos⁡(a) cos⁡(b)-sin⁡(a) sin⁡(b), ¿cuál será la nueva coordenada en x?

En el siguiente diagrama tenemos un punto con un ángulo de α, si es que lo rotamos, la coordenada en y del punto será sin⁡(α+30°). Recordando que la identidad de la suma de senos es sin⁡(a+b)=sin⁡(a) cos⁡(b)+cos⁡(a) sin⁡(b), ¿cuál será la nueva coordenada en y?

Si es que aplicamos una rotación por un ángulo θ al punto (x, y), podemos obtener el nuevo punto usando:

(x cos⁡(θ)-y sin⁡(θ),  x sin⁡(θ)+y cos⁡(θ) )

Podemos escribir esto como una matriz de transformación de una matriz \(C=\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\).

¿Cuál matriz representa esto?