Rosas Polares

En esta lección, exploraremos un grupo de funciones polares llamadas rosas polares.

Estas funciones tienen la fórmula común r=cos⁡(kθ) o r=sin⁡(kθ), la cual produce diferentes diseños con forma de pétalos, como los ejemplos de las siguientes imágenes.

En esta lección sólo miraremos a las rosas polares que son producidas con funciones coseno, pero las rosas polares que son producidas con funciones seno se comportan de la misma manera.

La siguiente gráfica representa a r=cos⁡(3θ):

¿Cuántos pétalos tendrá la gráfica de r=cos(5θ)?

Si es que añadimos una constante a la función de la rosa polar, cambiaremos el comportamiento de los pétalos. Si es que la constante tiene una magnitud lo suficientemente grande, los pétalos ya no interceptarán el origen.

¿Cuál ecuación produce la siguiente gráfica?

Tal vez pienses que la ecuación general r=cos⁡(kθ) describe una flor con k pétalos. Sin embargo, este no es el caso, la gráfica de r=cos⁡(4θ) no tiene 4 pétalos.

¿Cuántos pétalos tiene la gráfica de r=cos(4θ)?

Veamos cómo la gráfica es producida a medida que θ incrementa.

¿Cuál de las siguientes imágenes muestra la gráfica de r=cos(4θ) para 0≤θ≤π?

Veamos cómo la gráfica es producida a medida que θ incrementa.

¿Cuál de las siguientes imágenes muestra la gráfica de r=cos(5θ) para 0≤θ≤π?

Para una rosa polar de la forma r=cos⁡(kθ), el número de pétalos en la gráfica es determinado por cuánto se tarda la gráfica para retornar a su posición inicial.

Para r=cos⁡(4θ), la gráfica empieza en la coordenada polar (1, 0) y retorna a ese punto en la coordenada polar (1, 2π). A medida que θ va desde 0 hasta 2π, cos⁡(4θ) se mueve a través de 4 periodos completos, lo que significa que traza 8 pétalos, cuatro de valores positivos de r y cuatro de valores negativos de r. Para valores de θ mayores que 2π, la gráfica se vuelve a trazar a sí misma.

Para r=cos⁡(5θ), la gráfica empieza en la coordenada polar (1, 0) y retorna a ese punto en la coordenada polar (-1, π). Dado que la gráfica retorna a su punto inicial después de sólo π radianes, empezará a trazarse a sí misma más pronto. cos⁡(5θ) sólo viaja a través de 2.5 periodos y sólo 5 pétalos son trazados.

Basados en lo que acabamos de describir, ¿cuántos pétalos podemos esperar de la gráfica de r=cos(1.5θ)?

Una manera de prevenir que la gráfica repita el mismo patrón es cambiar la escala de cada pétalo. Podemos hacer esto al multiplicar la función trigonométrica por alguna función no periódica de θ.

¿Cómo se comportan los pétalos en la gráfica de la siguiente función?