Raíces y Multiplicidad

¿Tiene el siguiente polinomio por lo menos una raíz real, es decir, una raíz que es un número real?

\({{x}^3}+2{{x}^2}+2x+4\)

El teorema del factor dice que si a es una raíz de algún polinomio f(x), entonces (x-a) es un factor del polinomio.

¿Cuántas raíces reales distintas tiene el siguiente polinomio?

\({{x}^3}+2{{x}^2}+2x+4\)

El polinomio x³+2x²+2x+4 puede ser factorizado de la siguiente manera:

Obtenemos la raíz -2 de (x+2), pero no obtenemos ninguna raíz real del factor (x²+2), ya que (x²+2) no tiene raíces reales, lo cual puede ser comprobado con la fórmula cuadrática. Por lo tanto, sólo obtenemos una raíz real de esta factorización.

No puede haber otras raíces reales que no salgan de la factorización. El teorema del factor dice que si a es una raíz del polinomio f(x), entonces (x-a) debe ser un factor del polinomio. Dado que (x+2) es el único factor lineal en esta factorización y ni (x+2) ni (x²+2) pueden seguir siendo factorizados, significa que -2 es la única raíz real de x³+2x²+2x+4. Esto también depende en el hecho que la factorización de polinomios en productos de polinomios irreducibles es única.

¿Cuántas raíces reales distintas tiene el siguiente polinomio?

\({{x}^3}+{{x}^2}-4x-4\)

Recuerda que un polinomio cúbico es un polinomio de tercer grado, es decir, de la forma \(a{{x}^3}+b{{x}^2}+cx+d\). ¿Existe un polinomio cúbico que tenga más de 3 raíces?

El teorema del factor dice que si tenemos un polinomio f(x) con un número de raíces \(k, ~r_{1},~r_{2},…,~r_{k}\), entonces, debe tener una factorización que incluya cada uno de los factores \((x-r_{1}),~(x-r_{2}),…,~(x-r_{k})\).

Cuando multiplicamos polinomios, el grado del polinomio es igual a la suma de los grados de los factores. Eso significa que si tenemos k factores lineales \((x-r_{1})(x-r_{2}),…,~(x-r_{k})\) el producto es un polinomio de grado k. Por lo tanto, para que un polinomio tenga más de 3 raíces, el grado del polinomio debe ser mayor a 3. Entonces, no existe un polinomio cúbico que tenga más de 3 raíces.

Por ejemplo, si es que tenemos un polinomio f(x) el cual tiene raíces -1, 1, -2 y 2:

Este polinomio debe dividir a f(x), por lo que el grado de f(x) debe ser por lo menos 4.

¿Cuál es el número máximo de raíces reales distintas que un polinomio de grado n puede tener?

Hemos visto que las raíces de un polinomio corresponden a los factores lineales que aparecen en la factorización completa de f(x).

La multiplicidad de una raíz es la potencia a la cual está elevada el factor lineal correspondiente en la factorización. Por ejemplo, el polinomio:

puede ser factorizado así:

Por lo tanto, 2, 0, 3, 1 son las raíces del polinomio. Estas raíces tienen las siguientes multiplicidades:

Así que el polinomio f(x) tiene 4 raíces distintas, pero la suma de las multiplicidades de estas raíces es 8, por lo que podríamos decir que el polinomio tiene 8 raíces contadas por multiplicidad.