Raíces de un Polinomio

A través de los años se han desarrollado varias técnicas para encontrar las raíces de polinomios. Una estrategia usada frecuentemente es factorización. Cuando factorizamos un polinomio lo escribimos como el producto de otros polinomios de menor grado.

Por ejemplo, el polinomio x²+x-6 puede ser factorizado así:

x²+x-6=(x+3)(x-2)

La expresión de la izquierda es denominada la forma estándar del polinomio y la expresión de la derecha es denominada la forma factorizada.

¿Cuál es una raíz de x²+x-6?

Hay ocasiones en las cuales todos los términos en un polinomio tienen un factor común. Por ejemplo:

2x³+8x²+8x=2x(x²+4x+4)=2x(x+2)²

Por lo tanto, 0 y -2 son raíces de 2x³+8x²+8x.

En otras ocasiones, incluso cuando no hay un factor común en todos los términos del polinomio, es posible encontrar grupos pequeños de términos que tienen un factor común y factorizar estos grupos de términos individualmente. Por ejemplo, en el polinomio x³-2x²-9x+18:

x³-2x²=x²(x-2)
-9x+18=-9(x-2)

Entonces, tenemos:

x³-2x²-9x+18=x²(x-2)-9(x-2)
=(x²-9)(x-2)

De hecho, x²-9 puede ser factorizado así:

x²-9=(x+3)(x-3)

Por lo tanto:

x³-2x²-9x+18=(x+3)(x-3)(x-2)

Y las raíces de x³-2x²-9x+18 son -3, 3, -2. Este método de factorización se llama factorización por agrupación.

Puedes usar factorización por agrupación para resolver este problema.

¿Cuál de las siguientes no es una raíz de x³-3x²-4x+12?

El teorema de las raíces racionales es otra estrategia para encontrar las raíces de un polinomio.

El teorema de las raíces racionales aplica para cualquier polinomio de la forma:

en donde, los coeficientes \(a_{n},~ a_{n-1},~a_{2}\),etc son todos números enteros y el término constante \(a_{0}\) es diferente de cero.

Si es que tenemos un polinomio que cumple estas condiciones, el teorema de las raíces racionales indica que:

Cualquier raíz del polinomio que sea un número racional debe tener la propiedad en la cual el coeficiente líder¹ debe ser divisible para el denominador de la fracción y el término constante² debe ser divisible para el numerador. Es decir, si tenemos una raíz \(r=\frac{a}{b}\), entonces a debe dividir al término constante \(a_{0}\) del polinomio y b debe dividir al coeficiente líder \(a_{n}\).

Nota 1: El coeficiente líder es el coeficiente del término con la mayor potencia.

Nota 2: El término constante es el término que no tiene variable.

El polinomio \(f(x)={{x}^3}+2{{x}^2}-x-2\) tiene coeficientes enteros y un término constante diferente de cero. Entonces, podemos usar el teorema de las raíces racionales el cual dice que si f(x) tiene una raíz racional \(\frac{a}{b}\), entonces a divide al término constante -2 y b divide al coeficiente líder 1.

Entonces, tenemos que los únicos valores posibles para a son ±1,±2, y el único valor posible para b es ±1.

Por lo tanto, las únicas posibles raíces racionales del polinomio son \(\pm \frac{1}{1},~\pm \frac{2}{1}\).

¿Cuántas de las posibles raíces racionales 1, -1, 2, -2 son raíces racionales de f(x)?

2 es una raíz del polinomio \({{x}^3}-3{{x}^2}+x+2\). Por el teorema de raíces racionales sabemos que, si es que (x-c) es un factor de un polinomio f(x), entonces c es una raíz de f(x). Entonces, dado que 2 es una raíz de \({{x}^3}-3{{x}^2}+x+2\), sabemos que (x-2) es un factor de \({{x}^3}-3{{x}^2}+x+2\).

Después de encontrar una raíz con el teorema de raíces racionales, podemos usar división de polinomios para encontrar más raíces. Podemos usar la división de polinomios para dividir \({{x}^3}-3{{x}^2}+x+2\) por (x-2):

Entonces, tenemos

El polinomio \({{x}^2}-x-1\) es el polinomio áureo y vimos que sus raíces son \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) y \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\). Entonces, 2, \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) y \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) son todas las raíces de \({{x}^3}-3{{x}^2}+x+2\).

¿Cuántas raíces racionales tiene el siguiente polinomio?

3x³-x²+2x+1

¿Tiene el siguiente polinomio alguna raíz racional?

x³-3