Raíces Complejas Conjugadas

En la anterior lección, revisamos el teorema fundamental de álgebra el cual dice que cada polinomio de grado n con coeficientes complejos (todos los números reales son números complejos) tiene n número de raíces complejas, contando cada raíz de acuerdo con su multiplicidad.

En esta lección, veremos las interesantes consecuencias que el teorema fundamental de álgebra tiene para las posibles factorizaciones de polinomios con coeficientes reales al explorar las raíces conjugadas complejas.

¿Es posible que un polinomio cuadrático de la forma \(f(x)=a{{x}^2}+bx+c\) con coeficientes reales tenga una raíz que sí es real y otra raíz que no es real al mismo tiempo?

El polinomio \({{x}^2}+4x+8\) tiene dos raíces complejas no reales: 2+2i y 2-2i. Estas raíces con números complejos conjugados. El conjugado de un número complejo \(z=a+bi\) es el número complejo \(\overline{z}=a-bi\).

¿Existe un polinomio cuadrático \(f(x)=a{{x}^2}+bx+c\) con coeficientes reales que tenga 2 raíces complejas no reales que no sean números complejos conjugados?

Si es que definimos al polinomio \(f(x)=(x-z)(x-\overline{z})\), en donde z es un número complejo no real y \(\overline{z}\) es el conjugado complejo de z, ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero sobre los coeficientes del polinomio f(x) cuando es escrito en forma estándar?

A) El polinomio f(x) tendrá por lo menos un coeficiente real y por lo menos un coeficiente no real.

B) Todos los coeficientes del polinomio f(x) serán reales.

C) Ninguno de los coeficientes del polinomio f(x) serán reales.

D) Depende en el valor de z.

Recuerda las propiedades algebraicas de conjugados complejos, en donde z y m son números complejos:

Si es que tenemos un número complejo no real z, el cual es la raíz de un polinomio f(x) con coeficientes reales, ¿es verdad que el conjugado complejo \(\overline{z}\) también es una raíz de f(x)?

En resumen, esto es lo que descubrimos en esta lección:

Si es que tenemos un polinomio f(x) con coeficientes reales, el teorema fundamental del álgebra nos dice que el polinomio puede ser factorizado para formar un producto de sus términos lineales, en donde cada término tiene la forma (x-a), en donde a es una raíz del polinomio.

Si es que z es una raíz compleja no real de f(x), entonces, su complejo conjugado, \(\overline{z}\), también es una raíz con la misma multiplicidad.

Cuando multiplicamos los factores \((x-z)\) y \((x-\overline{z})\) obtenemos un polinomio cuadrático con coeficientes reales. Esto significa que los términos lineales en la factorización de f(x) que corresponden a raíces no reales vienen en pares los cuales al ser multiplicados producen un polinomio cuadrático con coeficientes reales.

Por lo tanto, todos los polinomios con coeficientes reales pueden ser factorizados como el producto de polinomios irreducibles con coeficientes reales de tal forma que cada factor irreducible sea lineal o cuadrático.

¿Tiene el siguiente polinomio por lo menos una raíz real?