Proceso Limitante

En esta lección, usaremos un ejemplo de un resorte con una masa para construir una intuición sobre el “proceso limitante”.

Este ejemplo es similar al ejemplo \(\frac{distancia}{tiempo}\) que vimos en la lección anterior.

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Vamos a usar x(t)=sin(t) para modelar la posición de la masa en un resorte.

Queremos encontrar la velocidad instantánea en el tiempo t=0. Para hacerlo, podemos mirar a la velocidad promedio en el intervalo [0, t] y evaluar lo que sucede cuando hacemos que t se acerque a 0.

¿Cuál de las siguientes expresiones modela la velocidad promedio \(\frac{cambio ~en~ posición}{cambio ~en ~tiempo}\) de la masa en el intervalo [0, t]?

En la anterior pregunta vimos que, la velocidad promedio de una masa en un resorte hasta un tiempo t es \(\frac{\sin(t)}{t}\).

Si es que reemplazamos t=0 en la expresión, obtenemos la forma indeterminada \(\frac{0}{0}\), por lo que no podemos encontrar el valor de la velocidad instantánea inmediatamente.

Sin embargo, podemos mirar el valor al que \(\frac{\sin(t)}{t}\) se acerca a medida que t se acerca a 0.

Usando la siguiente gráfica, determina lo que pasa con \(\frac{\sin(t)}{t}\) a medida que t se acerca más y más a cero.

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A medida que t se acerca más y más a 0, la expresión \(\frac{\sin(t)}{t}\) se acerca más y más a 1.

En las próximas lecciones exploraremos más sobre esto, pero esta es la idea de “el límite de \(\frac{\sin(t)}{t}\) a medida que t se acerca a 0 es 1”. Esto es escrito:

Estas ideas pueden generalizarse para todo tipo de funciones. Con esta generalización podemos definir el problema de determinar si es que una función general f(x) se acerca o no a un valor específico en x=a y si es que lo hace, determinar cuál es ese valor.

Calcular los límites resulta fácil para la mayoría de las funciones, pero hay algunas excepciones con un comportamiento extraño.

Por ejemplo, queremos determinar cómo se comporta la función \(\sin⁡(\frac{1}{x})\) a medida que x se acerca a 0, es decir, queremos determinar \(\lim_{x\to 0} sin⁡(\frac{1}{x})\).

¿La función se acerca a algún valor específico cerca de x=0? Si es que es así, ¿cuál es ese valor?

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En la anterior pregunta vimos que, la función \(\sin⁡(\frac{1}{x})\) no parece acercarse a ningún valor en particular a medida que x se acerca a 0. Cuando esto sucede, decimos que \(\lim_{x\to 0} sin⁡(\frac{1}{x})\) no existe.

¿Cuál de las siguientes es una explicación correcta de este comportamiento?

A: Cuando tenemos x=0, obtenemos \(\sin⁡(\frac{1}{0})\) la cual es indefinida, por lo que el límite no existe.

B: A medida que x se acerca a 0, sin(x) también se acerca a 0. Por lo tanto, al sacar el recíproco de sin(x), obtenemos un valor que se hace más y más grande, por lo que no se acerca a ningún valor particular.

C: A medida que x se acerca a 0, sin(x) oscila entre 0 y 1 al igual que su recíproco, por lo que nunca se acerca a un número en particular.

D: A medida que x se acerca a 0, \(\frac{1}{x}\) se hace más y más grande. Dado que seno oscila entre -1 y 1 a medida que su entrada se hace más grande, el resultado final no se acerca a ningún valor en particular.

¿Qué sucede con \(x \sin(\frac{1}{x})\) a medida que x se acerca a 0?

A: Se acerca más y más a 1.

B: Se acerca más y más a 0 ya que a pesar de que \(\sin⁡(\frac{1}{x})\) está oscilando a medida que x se hace pequeño, también estamos multiplicando por x que se va a 0.

C: No se acerca a ningún número en particular ya que el término \(\sin⁡(\frac{1}{x})\) oscila entre -1 y 1 a medida que x se hace pequeño.

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Este es un resumen de lo que vimos en esta lección:

• Examinamos la idea de un proceso limitante al analizar la velocidad instantánea de una masa en un resorte en un tiempo en particular.

• Luego, extendimos estas ideas del proceso limitante para funciones más generales.

• También examinamos \(x \sin⁡(\frac{1}{x})\) y \(\sin⁡(\frac{1}{x})\) para entender casos diferentes de procesos limitantes y desarrollar una intuición general.