Potenciación en la Fórmula de Euler

La potenciación es muchas veces vista en el contexto de multiplicación repetida.

Por ejemplo, significa multiplicar al 5 por sí mismo 3 veces:

\({{5}^3}=5\times 5\times 5\)

Esta interpretación tiene sentido cuando el exponente es un número positivo. Sin embargo, esta interpretación deja de tener sentido cuando incluimos a números negativos, números racionales y peor aún con números imaginarios.

También podemos considerar a la potenciación como una transformación de la recta numérica o plano que mueve cada z a \({{b}^z}\) para una base b. Sin embargo, esto no nos da una idea de la apariencia o comportamiento de la función exponencial. Queremos describirla en términos de transformadores como lo hicimos con multiplicadores y sumadores.

Cuando definimos a la potenciación como multiplicación repetida, podemos derivar la siguiente propiedad:

\({{b}^n} {{b}^m}={{b}^{n+m}}\)

en donde m y n son números enteros positivos. Podemos tomar esta definición de un exponente para cualquier función que satisfaga esta propiedad. Si es que \(f(a+b)=f(a)f(b)\) entonces, decimos que f es una función exponencial.

Entonces, potenciación, es algo que toma un sumador en el dominio de la función y lo transforma en un multiplicador en el rango.

Si es que tenemos la función \(f(x)={{e}^x}\), ¿cuál de las siguientes propiedades es verdadera para todos los números reales a y b?

Si tenemos la función \(f(x)={{e}^x}\), ¿qué efecto tiene como multiplicador la acción de f(e+5) en la recta numérica real?

La potenciación es algo que toma un sumador y lo convierte en un multiplicador. Lo que pasa en el dominio en manera de suma, sucede en el rango en forma de multiplicación:

Entonces podemos pensar en la potenciación como algo que convierte un sumador que desplaza la recta numérica real en un multiplicador que estira la recta numérica.

Si es que tenemos \(f(x)={{3}^x}\), ¿qué completa la tabla?

Si es que tenemos \(f(x)={{2}^x}\), ¿qué completa la tabla?

Si es que tenemos \(f(x)={{3}^x}\), ¿qué completa la tabla?

Si es que tenemos \(f(x)={{e}^x}\), ¿qué completa la tabla?