Probabilidad en Piglet Casino

Tu amigo y tú quieren hacer una apuesta lanzando un dado estándar de seis lados. Él ofrece pagarte 12 dólares si es que obtienes un 1, pero te sugiere que le pagues 2 dólares si es que obtienes cualquier otro número. Si es que sólo te enfocas en la cantidad de dinero que ganarías en promedio a largo plazo, ¿deberías aceptar esta apuesta?

Ahora tu amigo quiere hacer una apuesta diferente. Te ofrece pagarte el valor de lo que obtengas luego de lanzar un dado siempre y cuando sea mayor a 1 y si es que obtienen un 1, te sugiere que le pagues 8 dólares. En promedio, ¿cuánto dinero podrías ganar o perder si es que aceptas esta apuesta?

A tu amigo le gustó el formato de la anterior apuesta, quiere una apuesta en la que le pagues el valor que obtuviste al lanzar el dado si es que fue mayor a 1, pero esta vez quiere una apuesta que sea más justa para ambos. ¿Cuánto dinero deberías pagarle cada vez que obtengas un 1 para que la apuesta sea justa (esperanza matemática de ganancias es 0)?

Ahora decides jugar este juego en un casino. Empiezas sin dinero a tu favor y en cada turno tienes dos opciones: renunciar y llevarte tus ganancias o arriesgar todo lo que tienes a tu favor y lanzar un dado. Si es que el resultado de lanzar un dado es 1, el casino tomará todo el dinero que has acumulado a tu favor, pero si el resultado de lanzar un dado es cualquier número diferente de 1, el casino te paga el valor de ese número en dólares para que sumes el dinero a tu favor.

Por ejemplo, si obtienes un 5 en tu primer intento, sumarás 5 dólares a tu favor. En el siguiente turno, puedes renunciar y tomar tus 5 dólares o lanzar el dado. Si es que obtienes un 1, perderás todo tu dinero, pero si obtienes otro número, por ejemplo, un 4, ahora tendrás 9 dólares a tu favor.

En promedio, ¿cuál estrategia hará que ganes la mayor cantidad de dinero?

Otro jugador está jugando el mismo juego y por un golpe de suerte logra acumular 44 dólares en ganancias tentativas. Si es que decide retirarse ahora, se retirará con ganancias exactas de 44 dólares, pero ¿cuál sería su esperanza matemática si es que decide lanzar el dado una vez más?