Multiplicadores en la Fórmula de Euler

Definimos a la multiplicación por n en la recta numérica como la acción que fija a 0 en el mismo lugar y que estira la recta numérica uniformemente hasta que 1 esté en la posición en donde n estaba originalmente.

Teniendo esto en cuenta, ¿a dónde se mueve la posición n cuando aplicamos a n como un multiplicador?

Ya hemos definido al comportamiento de los multiplicadores en la recta numérica real. Ahora, necesitamos extender esa definición al plano complejo con una definición que se comporte como multiplicación.

Tenemos dos posibles definiciones:

A) El número complejo a+bi actúa en el plano complejo como un multiplicador primero estirando al plano en el eje real uniformemente hasta que el punto (1+1i) llegué a la posición original de (a+1i). Luego estirando al plano en el eje imaginario uniformemente hasta que (a+1i) llegue a la posición original de (a+bi).

B) El número complejo a+bi actúa en el plano complejo como un multiplicador primero estirando al plano en el eje real uniformemente hasta que el punto (1+0i) llegué a la posición original de (a+0i). Luego estirando al plano en el eje imaginario uniformemente hasta que (a+0i) llegue a la posición original de (a+bi).

¿Se comporta alguna de estas o ambas definiciones como multiplicación?

Observa lo que obtenemos al multiplicar por i:

• i×(0+i)=(-1+0i)

• i×(1+0i)=(0+i)

• i×(1+i)=(-1+i)

• i×(0+0i)=(0+0i)

Estos cuatro casos pueden ser visualizados en el siguiente diagrama. ¿Cuál es el comportamiento general de la transformación?

Recuerda que la magnitud de un número complejo z=a+bi es \(|z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}\).

Esta es la descripción correcta de cómo un multiplicador z=a+bi actúa en el plano complejo:

Empezando con (0+0i) fijado en el mismo lugar, realizamos un estiramiento uniforme del plano usando el mismo factor tanto en las dimensiones imaginarias como en las reales hasta que el punto (1+0i) sea estirado hasta (|z|+0i), luego giramos el plano con respecto a (0+0i) hasta que (|z|+0i) llegue a la posición original de (a+bi).

Si es que aplicamos la acción \(\times {{(\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3})}^4}\), ¿por qué factor es estirado el plano complejo?

¿Cuál valor al ser aplicado al plano complejo tendría el mismo efecto que aplicar 0+0i como un multiplicador cinco veces secuencialmente?

Si es que aplicamos el multiplicador 3 y luego aplicamos el multiplicador 4i, ¿tendrá el mismo efecto que aplicar el multiplicador (3+4i)?

Si es que aplicamos el multiplicador (2-5i) en el plano complejo, ¿cuál acción llevaría al plano complejo a donde estaba originalmente?

¿Qué efecto tiene en el plano complejo la aplicación de 5i como un multiplicador?

En esta lección, vimos que multiplicación por un número complejo no sólo causa un estiramiento del plano complejo en dos direcciones, sino que también produce una rotación.

Recuerda que cuando multiplicamos dos números complejos multiplicamos sus magnitudes y sumamos sus ángulos. La multiplicación de las magnitudes corresponde al estiramiento del plano complejo, mientras la suma de los ángulos corresponde a la rotación del plano complejo.

Si es que tenemos un número complejo z en coordenadas polares como (r, θ), la acción de aplicar z como multiplicador, tendrá que estirar el plano complejo por un factor de r y rotar el plano θ radianes para llevar el 1 hasta z.