Multiplicación de Números Complejos

El número complejo z es diferente de cero y se puede ver en la gráfica de abajo. Si es que tenemos la constante p la cual representa un número real, ¿Cuál de los puntos en la gráfica podría representar el producto pz?

Si es que tenemos un punto m en el plano complejo y lo multiplicamos por i, la magnitud de m no cambia ya que |i|=1 y |m×i|=|m|×|i|=|m|. Sin embargo, el argumento sí cambia. El argumento es el ángulo con relación al origen y la dirección positiva del eje x. Tenemos que el argumento de m×i es la suma de los argumentos de i y m.

¿Cuál de los siguientes puntos muestra correctamente la relación entre m y m×i?

En la gráfica podemos ver al número complejo m y su conjugado \(\overline{m}\). ¿Cuál de los puntos podría representar al producto \(m\overline{m}\)?

Si es que tenemos dos números complejos z y m, ¿es verdad que |zm|=|z||m| o equivalentemente \(\overline{zm}=\overline{z} \overline{m}\)?

Observemos en la siguiente visualización lo que pasa geométricamente cuando multiplicamos dos números complejos.

Creado con GeoGebra

Ya hemos visto que para dos números complejos z y m, tenemos |zm|=|z||m|, pero aún nos falta determinar la ubicación exacta del punto zm en el plano complejo.

El argumento de un número complejo z es el ángulo entre el eje real y la línea que va desde el origen hasta el punto z. Por ejemplo, el argumento de i es 90° y el argumento del número 1 es 0°.

Cuando multiplicamos dos números complejos z y m, sumamos sus argumentos para encontrar la dirección del vector que representa a zm. Más adelante, veremos estos conceptos más detalladamente cuando exploremos las coordenadas polares, pero por ahora recuerda que zm está representado por un vector con longitud |z||m| y un argumento igual a la suma de los argumentos de z y m.

¿Cuál de los siguientes puntos representa al producto de z y m?

La gráfica muestra un número complejo m en el plano complejo. ¿Cuál de los puntos puede representar al número 1/m?