Magnitud de un Número Complejo

Geométricamente, la magnitud o valor absoluto de un número complejo es la distancia desde el origen hasta el punto en el plano complejo que representa al número complejo. La magnitud de un número complejo z, es denotada |z|.

Abajo se muestra el punto z=2+3i en el plano complejo. ¿A qué es igual |z|?

En el anterior problema vimos cómo encontrar la magnitud de un punto particular en el plano complejo. Vale la pena revisar esto de nuevo.

La línea que va desde el origen hasta el punto z=a+bi es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados a y b. Por lo tanto, para cualquier número complejo z=a+bi, la magnitud de z es \(|z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}\).

Entonces, la magnitud de z=2+3i es:

¿Qué forma tiene la gráfica de |z|=5?

Recuerda que \(\overline{z}\) es el conjugado de un número complejo. Por ejemplo, si es que z=2+3i, entonces, \(\overline{z}=2-3i\).

¿Cuál expresión es equivalente a \(z\times \overline{z}\)?

Usa diferentes casos y posiciones de los puntos para responder la siguiente pregunta.

z y m son números complejos. Completa la siguiente expresión con el operador faltante:

|z+m| |z|+|m|

Tenemos dos puntos z y m en el plano complejo. ¿Es la magnitud de |z+m| mayor, menor o igual a la magnitud de |z|+|m|?

Una aplicación muy útil del conjugado de un número complejo es que si es que tenemos z=a+bi, entonces, \({{|z|}^2}={{a}^2}+{{b}^2}=z\times \overline{z}\), por lo tanto, al multiplicar un número complejo por su conjugado, tenemos el cuadrado de la magnitud.

Si es que tenemos que z y m son dos números complejos diferentes de cero. ¿A qué es igual la siguiente expresión?

Los números complejos x y y están representados en el siguiente plano complejo.

Si es que z es un número complejo de forma que |z-x|+|z-y|=|x-y|, ¿cuál de los siguientes puntos podría representar z?