La magnitud de un número complejo es igual a su distancia desde el origen en el plano complejo. El proceso para encontrar la magnitud de un número complejo es muy similar al proceso de encontrar la distancia entre dos puntos.
A continuación, aprenderemos cómo calcular la magnitud de números complejos usando una fórmula. Además, veremos varios ejercicios resueltos para dominar la aplicación de la fórmula completamente.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre la magnitud de un número complejo con ejercicios.
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Aprender sobre la magnitud de un número complejo con ejercicios.
¿Cómo calcular la magnitud de un número complejo?
La magnitud de un número complejo puede ser calculada usando un proceso similar a encontrar la distancia entre dos puntos. Recordemos que la distancia entre dos puntos puede ser encontrada usando la fórmula:
$latex d= \sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$
Si queremos encontrar la distancia desde el origen en el plano cartesiano, esta fórmula se simplifica a:
$latex d= \sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
En el plano complejo, el eje x representa al eje real y el eje y representa al eje imaginario. Si es que tenemos a un número complejo en la forma $latex z=a+bi$, la fórmula para la magnitud de este número complejo es:
| $latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$ |
En esta fórmula, a es nuestro componente real y b es nuestro componente imaginario. Además, denotamos a la magnitud de un número complejo como $latex |z|$.
Ejercicios de magnitud de números complejos resueltos
El proceso usado para calcular la magnitud de números complejos mencionado arriba es usado para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
¿Cuál es la magnitud del número $latex z=3+4i$?
Solución
Simplemente usamos la fórmula de la magnitud de números complejos y reemplazamos los valores de $latex a=3$ y $latex b=4$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{3}^2}+{{4}^2}}$
$latex =\sqrt{9+16}$
$latex =\sqrt{25}$
$latex |z|=5$
EJERCICIO 2
¿Cuál es la magnitud del número $latex z=-5+6i$?
Solución
Tenemos que usar la fórmula de la magnitud de números complejos con los valores de $latex a=-5$ y $latex b=6$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(-5)}^2}+{{6}^2}}$
$latex =\sqrt{25+36}$
$latex |z|=\sqrt{61}$
EJERCICIO 3
Calcula la magnitud de $latex z=-4-7i$.
Solución
Aquí, tenemos los valores $latex a=-4$ y $latex b=-7$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(-4)}^2}+{{(-7)}^2}}$
$latex =\sqrt{16+49}$
$latex |z|=\sqrt{65}$
EJERCICIO 4
Calcula la magnitud de $latex z=6+2i$.
Solución
Podemos usar la fórmula de la magnitud de números complejos y con los valores $latex a=6$ y $latex b=2$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{6}^2}+{{2}^2}}$
$latex =\sqrt{36+4}$
$latex =\sqrt{40}$
$latex =\sqrt{4\times 10}$
$latex |z|=2\sqrt{10}$
EJERCICIO 5
¿Cuál es la magnitud del número $latex z=10-5i$?
Solución
Simplemente usamos la fórmula de la magnitud de números complejos y reemplazamos los valores de $latex a=10$ y $latex b=-5$:
$latex |z|=\sqrt{{{a}^2}+{{b}^2}}$
$latex =\sqrt{{{10}^2}+{{(-5)}^2}}$
$latex =\sqrt{100+25}$
$latex =\sqrt{125}$
$latex =\sqrt{25\times 5}$
$latex |z|=5\sqrt{5}$
Ejercicios de magnitud de números complejos para resolver
Resuelve los siguientes ejercicios para practicar lo aprendido sobre magnitud de números complejos. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre operaciones con números complejos? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
