Introducción a Límites
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- Question 1 of 111. Pregunta
En la sección introductoria, nos familiarizamos con los tres pilares del cálculo: las derivadas, las integrales y las sumas infinitas.
Otro concepto muy importante en cálculo es el límite ya que los límites definen a las derivadas, integrales y sumas infinitas.
En las lecciones de esta sección, aprenderemos lo que son los límites y obtendremos las habilidades básicas para resolver problemas de límites.
¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 2 of 112. Pregunta
Recuerda que una función es una regla o un proceso que asigna una salida a cada entrada dada.
La función \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) toma un número, le resta uno y retorna su recíproco.
No siempre es posible usar cada elemento de N, el conjunto de los número reales, como la entrada de una función.
¿Cuál valor real no puede ser usado como la entrada para la función \(f(x)=\frac{1}{x-1}\)?
¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 3 of 113. Pregunta
Recuerda que el dominio de una función es el conjunto de todas las entradas permitidas.
En la función \(f(x)=\frac{1}{x-1}\), el dominio es todos los números reales a excepción del 0.
¿Cuál es el dominio de la siguiente función?
¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 4 of 114. Pregunta
El dominio de una función puede ser descrito de mejor manera usando notación de intervalos. Los siguientes subconjuntos de números reales se llaman intervalos:
- (a, b)= el conjunto de número reales entre a y b, pero excluyéndolos.
- (a, b]= el conjunto de número reales entre a y b, excluyendo a a e incluyendo a b.
- [a, b)= el conjunto de número reales entre a y b, excluyendo a b e incluyendo a a.
- [a, b]= el conjunto de número reales entre a y b, incluyendo a a y b.
Explora estos intervalos en la siguiente interactiva.
Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski¿Cuál es el dominio de la función raíz cuadrada √x graficada abajo?
¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 5 of 115. Pregunta
Ahora que hemos visto un poco de terminología, empezaremos a construir una intuición por los límites.
La función f(x)=4x-1, x∈[0,1] toma un número x en [0, 1] (incluyendo 0 y 1), lo multiplica por 4 y le resta 1.
Un valor de f es el resultado de ingresar algún número en la función.
¿Cuál es el valor más grande de f en este ejemplo?
¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 6 of 116. Pregunta
Ahora veamos el anterior problema gráficamente. El dominio para f(x)=4x-1 del problema anterior es [0, 1] y la siguiente es su gráfica.
El valor más grande de la función f corresponde a la entrada x=1. ¿Cuál es la mejor descripción de la relación del punto (1, f(1))=(1,3) con la gráfica?
¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 7 of 117. Pregunta
Ahora veamos la siguiente función g(x)
La función g(x) es similar a f(x) con la excepción que x=1 no está incluido en el dominio de g.
El punto (1, 3) no está en la gráfica de g. Esa es la razón por la que tenemos un círculo abierto en la parte superior derecha.
¿Cuál es el valor más grande de g?
¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 8 of 118. Pregunta
En el anterior problema, vimos la función
g(x)=4x-1, x∈[0,1)
Vimos que, el número 3 es no el valor más grande de g. Este problema nos muestra que, si es que x<1 pero está muy cerca a 1, entonces g(x) está muy cerca a 3.
Al usar x=0.9,0.99,0.999… el resultado siempre será un valor cercano a 3, pero no 3 exactamente.
Esta es la idea esencial de un límite:
Si es que f(x) es muy cercano a L cuando x es cercano a a, podemos escribir
“lim” es una abreviación para “límite y el subíndice x→a indica que los valores de entrada se acercan a a.
¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 9 of 119. Pregunta
De las anteriores preguntas, nos formamos la idea de que si es que los valores de las salidas de f son cercanos a L cuando x es cercano a a, entonces, L es el límite a medida que x se acerca a a.
Buscaremos una definición más precisa ya que esto no nos ayuda a calcular un límite.
La siguiente interactiva retorna las salidas para la siguiente función para un conjunto particular de valores de entrada \(x_{1},…,x_{N}\). Entre más grande N sea, más cerca estará \(x_{N}\) de 0. Usa el control deslizante para cambiar el valor de N y observa lo que sucede con la salida de la función, sobre todo cuando N>5.
Basado en esto, ¿qué esperas que sea \[ \lim_{x\to 0} f(x) \]?
Creado con GeoGebraIngresa un valor
¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 10 of 1110. Pregunta
Debido a errores de redondeo, no siempre obtenemos la respuesta correcta al usar una calculadora.
Vimos que, a medida que x se acerca a 0, ese valor es redondeado a 0 causando un 0 en el numerador de la función.
Para lidiar con estos errores de redondeo, necesitamos manipular la función para escribirla de forma diferente y evitar que el numerador se vaya a 0.
Usando álgebra, podemos escribir
Esto significa que
Entonces,
Usando esta nueva forma, ¿cuál piensas que es el valor del límite?
Creado con GeoGebra¡Bien hecho!Sigue intentándolo - Question 11 of 1111. Pregunta
La idea principal que vimos en esta lección es la siguiente definición del límite:
Si es que f(x) es muy cercano a L cuando x es cercano a a, podemos escribir
En las siguientes lecciones, seguiremos explorando más a fondo esta idea de los límites. Además, también aprenderemos algunos métodos para calcular límites.
¡Bien hecho!Sigue intentándolo
