La Fórmula de Euler

La fórmula de Euler muchas veces es considerada como una de las más hermosas ecuaciones que se han producido en Matemáticas. En las próximas lecciones de esta sección, adquiriremos un entendimiento de la fórmula de Euler y también exploraremos algunos de sus usos y aplicaciones.

En esta lección, empezaremos haciendo una revisión de los conceptos fundamentales que necesitas para entender la fórmula de Euler. A medida que respondas las preguntas, usa tu intuición y piensa detenidamente en cada uno de los conceptos antes de continuar.

Parte I: Revisión de exponentes.

Las reglas de potencias para exponentes que hemos visto con números reales también pueden ser usadas cuando tenemos exponentes que son números complejos como \({{5}^{3i-2}}\).

¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

Parte II: Revisión de números complejos.

¿Cuál de los siguientes números tiene una magnitud más grande?

Parte III: Revisión de Trigonometría

Si es que tenemos sin⁡θ=cosθ, ¿es la expresión sin 2θ=cos 2θ verdadera para todos los valores de θ?

Parte IV: Gráficas en el Plano complejo

Si es que tenemos al círculo unitario, es decir de radio 1, centrado en el origen del plano complejo, ¿cuál de los siguientes puntos es parte de este círculo?

En la fórmula de Euler:

el lado derecho de la fórmula describe las coordenadas de un círculo unitario (cos⁡(θ), sin⁡(θ)) en el plano complejo.

El lado izquierdo de la fórmula de Euler, e^iθ puede ser manipulado algebraicamente como cualquier otro exponente.

Sin embargo, la parte más difícil es obtener una intuición de que el lado izquierdo de la fórmula tiene un significado numérico.

Parte V: Transformaciones de funciones y el espacio

Con el fin de obtener un entendimiento de la fórmula de Euler debemos observar cómo la multiplicación por un número complejo transforma una imagen o función.

Considera a la siguiente imagen en el plano complejo:

Si es que aplicamos la transformación F(z)=2iz, ¿cuál sería el resultado?

Parte VI: Transformaciones de funciones

Si tenemos una función inicial f(x) y también tenemos dos transformaciones diferentes, la primera f(x+2) y la segunda 9f(x), ¿cuál función original haría que las dos transformaciones tengan equivalentes resultados?

La fórmula de Euler combina cinco de las constantes más importantes en matemáticas y une las ideas de todos estos temas. La ecuación de Euler llega hasta las profundidades de la existencia. Una vez que obtengas un entendimiento de por qué y cómo funciona, comprenderás su significado y la verdad fundamental sobre cómo se relacionan los números complejos, potenciación y funciones trigonométricas.