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De la misma forma en que la geometría es el estudio de figuras y álgebra es el estudio de generalizaciones de operaciones aritméticas, cálculo es el estudio matemático del cambio continuo.
Antes de que el cálculo fue inventado, todas las matemáticas eran estáticas. Sólo era posible calcular objetos que estaban completamente en reposo. Pero el universo está en constante movimiento y cambio. El cálculo nos ayuda a determinar cómo las partículas, estrellas y materia se mueven y cambian en tiempo real.
Creado con GeoGebra
Cálculo puede resultar un poco difícil, pero las ideas detrás del cálculo son intuitivas e interesantes. En este curso, obtendremos un entendimiento conceptual y práctico de esas ideas para poder ver de manera diferente al mundo físico en constante cambio.
Empecemos imaginando un auto que está viajando a una rapidez constante de 120 Kilómetros por hora. Dado que rapidez es igual a \(\frac{distancia}{tiempo}\), es claro que esto significa que cada hora el auto cubre 120 kilómetros. En media hora cubre 60 kilómetros.
Ahora imagina que el piloto acelera como se muestra en la siguiente visualización, de tal forma que el velocímetro está incrementando constantemente. El piloto mira el velocímetro en un momento particular mientras todavía está acelerando y mira que dice 120 Kph. ¿Qué significa esto físicamente?
En la anterior pregunta vimos que, cuando la rapidez está cambiando, no está muy claro lo que la rapidez en un momento particular significa. No podemos simplemente definir a rapidez como distancia dividida por tiempo ya que no está claro qué intervalo de tiempo debemos usar. Por ejemplo, en el anterior problema, no importa qué tan pequeño sea el intervalo, por la mayor parte del intervalo el auto se moverá a una rapidez mayor a 120 kph, por lo que \(\frac{distancia}{tiempo}\) será mayor a 120.
¿Con cuál de las siguientes podríamos definir a la rapidez en un momento particular?
A: \(\frac{distancia}{tiempo}\) en donde el intervalo de tiempo es 0.
B: \(\frac{distancia}{tiempo}\) en donde el intervalo de tiempo es el número positivo más pequeño posible, el número que sigue después del cero.
C: Calculamos \(\frac{distancia}{tiempo}\) para intervalos positivos, pero hacemos esto repetidamente a medida que el intervalo de tiempo se hace más y más pequeño y vemos que \(\frac{distancia}{tiempo}\) se acerca a un valor.
Cuando tenemos rapideces que están cambiando, necesitamos definir a la “rapidez en un momento particular” con un proceso limitante. Tomamos \(\frac{distancia}{tiempo}\) para intervalos pequeños que contengan el momento particular que queremos y dejamos que esos intervalos se hagan más y más pequeños, por ejemplo, podemos tomar 0.1 segundos, 0.001 segundos, etc.
Si es que \(\frac{distancia}{tiempo}\) se acerca a un número r a medida que el intervalo de tiempo se acerca a 0, definimos a la rapidez en ese momento particular como r.
A medida que el intervalo de tiempo se hace más pequeño, la distancia viajada en ese intervalo también se hace más pequeña. Entonces, podemos referirnos a \(\frac{0}{0}\) como forma indeterminada. Sabemos que no es posible dividir a 0 por 0, pero lo que hacemos aquí es mirar a una expresión en la cual, tanto su numerador como su denominador se acercan a 0. Entonces, si es que el numerador se acerca a 0 ciento veinte veces más rápido que el denominador, el resultado de este proceso limitante será 120 kph. Esto significa que, a medida que el tiempo se acerca a 0, si es que tenemos distancia=120×tiempo, entonces tenemos \(\frac{distancia}{tiempo}=120\).
Si es que ahora nos imaginamos que el auto está acelerando desde 120 kph hasta 150 kph en 1 minuto, según lo dado por la función \(v(t)=\frac{t}{2}+2\), en donde t es en minutos y la salida es en kilómetros por minuto.
Por ejemplo, en t=0 minutos, tenemos \(v(t)=\frac{0}{2}+2=2\) kilómetros por minuto =120 kilómetros por hora. Y en t=1 minutos, tenemos \(v(t)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\) kilómetros por minuto =150 kilómetros por hora.
Sin embargo, ¿cómo calculamos la distancia viajada entre t=0 y t=1?
La rapidez está cambiando, por lo tanto, no podemos usar simplemente distancia=rapidez ×tiempo. Entonces necesitamos una nueva idea. Por ahora podemos usar un intervalo.
¿Cuál de las siguientes es verdad sobre la distancia viajada mientras el auto acelera de 120 kph hasta 150 kph en 1 minuto?
Podemos tomar el intervalo de tiempo (0 hasta 1) y dividirlo en cuatro secciones: \(0\leq t\leq \frac{1}{4},~\frac{1}{4}\leq t\leq \frac{2}{4}\),etc. Podemos pretender que la velocidad no cambia en cada intervalo pequeño de tiempo. Entonces, pretendemos que la rapidez es \(r_{1}\) (120 kph) en el primer intervalo, \(r_{2}\) (un poco más de 120 kph) en el segundo intervalo, etc.
En cada intervalo, calculamos la distancia viajada durante ese intervalo, la cual es rapidez×tiempo (en donde cada intervalo es 1/4) y luego sumamos las 4 distancias. Entonces, tenemos \(\frac{1}{4} d_{1}+\frac{1}{4} d_{2}+⋯\)
Esta sólo es una aproximación ya que la rapidez en realidad no es constante en cada uno de esos intervalos, sin embargo, esta aproximación es mejor que la anterior.
Podemos obtener una mejor aproximación al dividir el intervalo en intervalos más pequeños, por ejemplo, 100 intervalos, 1000 intervalos. Veamos lo que sucede con la suma de todas las distancias pequeñas a media que el número de intervalos n se hace más grande.
A medida que n se hace muy grande, ¿qué forma indeterminada representa de mejor manera a la siguiente expresión?
Podemos usar procesos limitantes para describir a las cosas que cambian.
En esta lección vimos, que al intentar definir rapidez en un momento particular encontramos la forma indeterminada 0/0, el cual es un proceso limitante de fracciones en donde tanto el numerador como el denominador se acercan a 0.
Al intentar calcular la distancia con una rapidez cambiante, encontramos la forma indeterminada 0×∞, la cual es un proceso limitante de sumar más y más números a medida que los mismos números se acercan a 0.
Estas ideas tienen un sin número de aplicaciones en el mundo real. Física, ingeniería, economía, estadística, medicina y entre otras usan los conceptos de cálculo. Cálculo es usado en áreas como viajes espaciales, construcción de estructuras más seguras, así como también para determinar cómo las medicaciones interactúan con el cuerpo.
Cálculo es sólo una herramienta que nos permite calcular estas formas indeterminadas con facilidad y confianza. La forma 0/0 es la base de la diferenciación y la forma 0×∞ es la base de la integración.