Ejemplos de Derivadas

En esta lección, miraremos algunos ejemplos simples de derivadas.

El ejemplo más simple es una función constante, como f(x)=2. ¿Cuál es la derivada de esta función en un punto a?

Ahora, supongamos que la gráfica de f es una línea como f(x)=3x+2. ¿Cuál es la derivada de f en un punto a?

El valor de la derivada puede ser rastreado en la definición original del límite:

Por ejemplo, en el anterior problema teníamos f(x)=3x+2. Cuando evaluamos el límite, obtenemos:

Miremos otro ejemplo: f(x)=x².

Cuando evaluamos el límite, obtenemos:

Cuando tomamos el límite, x es la variable que está cambiando, mientras a es fija.

En este ejemplo, el valor de la derivada depende del punto a. Estos casos son los más comunes.

Ahora exploremos a las tres razones por las que una derivada no podría existir.

Primera razón: Esquinas.

Considerando la función f(x)=|x|, esta función no es diferenciable en 0. ¿Qué sucede cuando intentamos calcular \(\lim_{x\to a}⁡ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) en a=0?

Segunda razón: Inclinación.

Considerando la función \(f(x)={{x}^{\frac{1}{3}}}\), esta función no es diferenciable en 0. ¿Qué sucede cuando intentamos calcular \(\lim_{x\to a}⁡\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) en a=0?

Tercera razón: Discontinuidad

Si es que una función no es continua en un punto a, entonces, no será diferenciable en ese punto. Esto se debe a que, si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.

Esta es una supuesta prueba de este hecho:

Paso #1: Si es que f es diferenciable en a, entonces, \(\lim_{x→a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe y es igual a algún número L.

Paso #2: También es verdad que \(\lim_{x\to a}⁡ x-a\) es 0.

Paso #3: El límite del producto de estas expresiones existe y es igual al producto de los límites. Entonces \(\lim_{x\to a}⁡ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\times \lim_{x\to a}⁡ x-a=L\cdot 0\). Por lo tanto, \( \lim_{x\to a}⁡(f(x)-f(a))=0\).

Paso #4: Esto significa que, \(\lim_{x\to a}⁡f(x)=f(a)\). Esta es la definición de una función continua en a.

¿Existe algún error en esta prueba?

¿En cuántos puntos la siguiente función no es diferenciable?