Diferenciación Implícita

En las anteriores lecciones, usamos la notación \(f'(x)\) para representar la derivada de f(x). Sin embargo, en las ciencias, es más común escribir la derivada como \(\frac{dy}{dx}\) y enfocarse en la perspectiva de las variables. Esta notación pone énfasis en la interpretación de tasa de variación de la derivada, es decir, cambio en y sobre cambio en x.

Esta notación es importante para problemas que involucran muchas variables ya que es más fácil seguir fácilmente a las varias derivadas cuando están escritas en la forma \(\frac{dy}{dx}\). Por ejemplo, si es que tenemos una esfera con radio r, volumen V y área superficial S, podemos escribir \(V=\frac{4}{3} \pi {{r}^3}\) y \(S=4\pi {{r}^2}\). A pesar de que no lo parezca, esto define a V como una función de S, por lo que tiene sentido tener \(\frac{dV}{dS}\), el cambio en volumen por cambio en área superficial.

En esta notación, la regla de la cadena es muy natural:

Si es que tenemos una esfera en donde V es el volumen, S es el área superficial y r es el radio, las cuales están relacionadas por \(V=\frac{4}{3} \pi {{r}^3}\) y \(S=4\pi {{r}^2}\), ¿a qué es igual \(\frac{dV}{dS}\)?

Generalmente, las funciones son descritas explícitamente en términos de sus variables, por ejemplo, \(y={{x}^2}+2\). Pero también podrían describir implícitamente a y como una función de x, por ejemplo, xy=10 o \({{y}^2}+xy=5\).

Es posible encontrar la derivada de y con respecto a x usando diferenciación implícita, la cual toma la derivada de ambos lados de la ecuación con respecto a x y resuelve para \(\frac{dy}{dx}\). Por ejemplo, queremos encontrar la línea tangente a un círculo el cual es descrito por la ecuación \({{x}^2}+{{y}^2}=9\).

Podríamos escribir a y en términos de x y tomar la derivada del resultado, lo cual es más complicado. Pero podemos usar diferenciación implícita para facilitar el proceso:

Observa que, la derivada de x² con respecto a x es simplemente 2x, pero la derivada de x² con respecto a x es \(2y \frac{dy}{dx}\) debido a la regla de la cadena:

Tenemos la expresión xy=2. ¿Cuál es la derivada de y con respecto a x, \(\frac{dy}{dx}\), en el punto (1, 2)?

Diferenciación implícita es útil cuando tenemos muchas partes cambiantes en un problema. Por ejemplo, si es que llenamos un cilindro con agua a una tasa constante, entender la altura del agua es fácil ya que hay una relación lineal con tiempo. Pero si es que llenamos un cono con agua a una tasa constante, la situación es más compleja ya que al principio el cono se llenará rápidamente, pero a medida que pasa el tiempo tomará más y más tiempo para que la altura del agua crezca.

Pero dado que sabemos cómo se relacionan el volumen y la altura, podemos escribir una fórmula para relacionarlas. Si es que tomamos la derivada implícita con respecto al tiempo de esa función, tendremos una ecuación en términos de \(V, ~\frac{dV}{dt}, ~h\) y \(\frac{dh}{dt}\). Dado que sabremos \(V, ~\frac{dV}{dt},~ h\) podremos resolver para \(\frac{dh}{dt}\).

Un globo esférico está siendo inflado a un ritmo constante de 4 \(\frac{{{cm}^3}}{min}\) de aire. En algún punto, el globo tiene un radio de 4 cm. En ese punto, ¿qué tan rápido está creciendo el radio del globo? Asume que el globo es esférico todo el tiempo y que el aire es incompresible.

Una escalera de 5 metros está apoyada en una pared de tal forma que la parte superior de la escalera está a 3 metros encima del piso y la parte inferior está a 4 metros de la pared. En un tiempo \(t_{0}\), la escalera se resbala hacia abajo en la pared de tal forma que la escalera cae a un ritmo constante de 0.5 \(\frac{m}{min}\). Calcula \(x'(t_{0})\) asumiendo que \(x(t_{0})=4\) y \(y(t_{0})=3\).

Dos autos empiezan a moverse al mismo tiempo, originalmente con el primer auto (azul) 60 kilómetros directamente hacia el norte del segundo (verde). El primer auto está viajando hacia el sur a un ritmo constante de 30 km/h y el segundo auto está viajando hacia el este a un ritmo constante de 40 km/h. Después de 1 hora, ¿qué tan rápido cambia la distancia entre los dos autos?