Derivadas de Varias Funciones

Para empezar mirando la regla del producto, determina si hay un error en el siguiente argumento:

Tenemos las funciones \(f(x)={{x}^2}\) y g(x)=x y usamos a a para representar cualquier número.

1) Para todas las x, \(f(x)=g(x)\cdot g(x)\).

2) Por lo tanto, \(f'(x)=g'(x)\cdot g'(x)\).

3) La derivada de f en a es 2a y la derivada de g en a es 1.

4) Esto significa que 2a=1∙1, por lo tanto a=1/2.

Usemos la idea intuitiva de visualizar f(x)g(x) como el área de un rectángulo para obtener la fórmula correcta para la derivada de un producto fg:

Cuando x incrementa por una pequeña cantidad ∆x, f incrementa por ∆f y g por ∆g. Entonces, el valor original de fg es el rectángulo verde, el cambio en fg son las áreas coloreadas de azul y naranja y el nuevo valor de fg es todo el rectángulo.

Las áreas de los pedazos en azul son f(x)∙∆g y g(x)∙∆f. Dado que estamos interesados en un cambio en fg sobre un cambio en x, dividimos por ∆x y obtenemos \(f(x)\cdot \frac{\Delta g}{\Delta x}\) y \(g(x)\cdot \frac{\Delta f}{\Delta x}\). Cuando tomamos el límite a medida que ∆x se acerca a 0, obtenemos \(f(x)\cdot g'(x)+g(x)\cdot f'(x)\).

El pedazo en naranja es simplemente ∆f∙∆g. Cuando dividimos por ∆x y tomamos el límite obtenemos \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot \Delta g\) lo cual se va a 0.

Cuando estamos trabajando con deltas (∆) que representan cambios pequeños, términos deltas multiplicados el uno por el otro pueden ser ignorados, como ∆f∙∆g o ∆r².

En la anterior página vimos que:

Si es que f y g son diferenciables en a, entonces, también lo es su producto y tenemos la fórmula:

Por ahora asumamos que la derivada de \({{e}^x}\) es \({{e}^x}\), en una próxima lección miraremos porqué es verdad.

¿Cuál es la derivada de \(f(x)=x{{e}^x}\)?

Usando \({{e}^{2x}}={{e}^x}\cdot {{e}^x}\) y la regla del producto, encuentra la derivada de \(h(x)={{e}^{2x}}\).

Ahora exploremos la división con el tipo de división más simple, un recíproco.

Si es que tenemos una función f, su recíproco está dado por \(g(x)=\frac{1}{f(x)}\).

Mirando a los ejemplos específicos de \(f(x)=x\) y \(g(x)=\frac{1}{x}\), selecciona las opciones correctas de las siguientes:

A: El signo de \(g'(a)\) depende en el signo de f(a).

B: \(g'(a)\) sólo depende en \(f'(a)\), no depende en f(a).

C: A medida que f(a) se acerca a 0, g(a) se acerca a ∞ o -∞ y a media que f(a) se acerca a ∞ o -∞, g(a) se acerca a 0.

Usando la definición de límite de la derivada, escribe la definición de límite de la derivada de \(\frac{1}{f(x)}\) en a y manipúlala algebraicamente.

Vimos que, la derivada de \(\frac{1}{f}\) en a está dada por \(\lim_{x\to a}⁡ \frac{f(a)-f(x)}{x-a}\cdot \lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)f(a)}\).

El primer límite es \(\lim_{x\to a}⁡ -\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-f'(a)\).

El segundo límite no es una forma indeterminada. A medida que x se acerca a a, el denominador se va a f(a)², por lo tanto, el valor del límite es \(\frac{1}{f{{(a)}^2}}\) .

Entonces, tenemos que la derivada de \(\frac{1}{f}\) en a es:

\(\frac{-f'(a)}{f{{(a)}^2}}\)

Ten en cuenta la dependencia en f(a) que observamos anteriormente, se hace grande a medida que f(a) se hace pequeña y no depende en el signo de f(a) porque ese término está elevado al cuadrado.

¿Cuál es la derivada de \(f(x)=\frac{1}{{{x}^2}}\)?

En la anterior pregunta vimos que, la derivada de \({{x}^{-2}}\) es \(-2{{x}^{-3}}\). Esto significa que estas derivadas siguen la regla de mover el exponente abajo y luego decrecerlo.

¿Es el siguiente enunciado verdadero?

Ahora exploremos la derivada del cociente de dos funciones.

Si es que f y g son funciones, entonces \(\frac{f}{g}\) es simplemente el producto de f y \(\frac{1}{g}\).

Usa la regla del producto y la regla del recíproco para determinar la derivada de \(\frac{f}{g}\) en un punto x.

En la anterior pregunta, vimos que la derivada de f/g en x es:

Esta es la regla del cociente. Usaremos este regla en la sección de derivadas de funciones trigonométricas.