Derivadas de Polinomios

En las anteriores lecciones, vimos las definiciones, el significado y la interpretación gráfica de la derivada. En las lecciones de esta sección, nos enfocaremos en calcular derivadas de polinomios. Miraremos que las derivadas a pesar de que son definidas como un proceso limitante, pueden ser muy fáciles de calcular.

Ten en cuenta que el propósito general de este curso es obtener un entendimiento de las ideas detrás de cálculo, en vez de hacer calculaciones. Por lo tanto, sólo estudiaremos calculaciones de derivadas en este grupo de lecciones.

Hemos visto que la derivada de f(x)=x² en un punto a es 2a. Ahora veamos cómo esto se generaliza a \(f(x)={{x}^n}\).

La derivada de \(f(x)={{x}^n}\) en a es:

Teniendo la siguiente identidad:

¿A qué se simplifica la expresión \(\frac{{{x}^n}-{{a}^n}}{x-a}\)?

¿Cuál es el resultado del siguiente límite?

En la anterior pregunta vimos que la derivada de la función \(f(x)={{x}^n}\) en a es \(n{{a}^{n-1}}\). Esto significa que sólo movemos el exponente abajo y lo decrecemos.

¿Cuáles son las derivadas de \(f(x)=x\) y \(g(x)={{x}^{30}}\)?

Ahora, diferenciando al polinomio 2x³-5x²+6x, tenemos (2∙3x² )-(5∙2x)+(6∙1)=6x²-10x+6.

Dado que la derivada de \({{x}^n}=n{{x}^{n-1}}\), ¿cuál de los siguientes enunciados son verdaderos para justificar la diferenciación que hicimos con \(2{{x}^3}-5{{x}^2}+6x\)?

A: Si es que la derivada de f en a es X y la derivada de g en a es Y, entonces la derivada de fg en a es XY.

B: Si es que la derivada de f en a es X y c es una constante, entonces la derivada de cf en a es cX.

C: Si es que la derivada de f en a es X y la derivada de g en a es Y, entonces la derivada de f+g en a es X+Y.

¿Cuál es la derivada de \(f(x)=3{{x}^4}+4{{x}^3}-5x+15\)?

Podemos diferenciar más de una vez. Si es que tenemos \(f(x)=3{{x}^4}+2{{x}^3}-10{{x}^2}+16x+150\), ¿cuál es la fórmula para \(f»(x)\)?

Tenemos el siguiente polinomio:

¿Cuál es la fórmula para \({{f}^{(30)}}(x)\), el resultado de diferenciar a f 30 veces?

Esta vez tenemos \(f(x)={{x}^{29}}\). En la anterior pregunta, vimos que \({{f}^{(30)}} (x)=0\). ¿A qué es igual \({{f}^{(28)}} (x)\)?

Recuerda que la notación n! Significa n factorial, el producto de todos los números enteros desde 1 hasta n.

Sabemos que un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces. También es verdad que un polinomio de grado n tiene como máximo n-1 “vueltas”. Específicamente, una vuelta es un punto en donde la gráfica va de incremental a decreciente o viceversa.

Por ejemplo, la gráfica de \(f(x)=0.3{{x}^4}-2{{x}^3}+4{{x}^2}-2x\) tiene tres vueltas:

Esta es una supuesta prueba de esto:

1) Tenemos un polinomio f de grado n. Cada bulto o vuelta en la gráfica de f corresponde a un mínimo local o máximo local.

2) Por lo tanto, en cada bulto o vuelta, la derivada de f es 0.

3) Dado que f es un polinomio de grado n, \(f’\) es un polinomio de grado n-1.

4) Dado que \(f’\) es un polinomio de grado n-1, tiene como máximo n-1 raíces y, por lo tanto, f tiene un máximo de n-1 bultos o vueltas.