Copo de Nieve de Koch
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Question 1 of 61. Pregunta
En esta lección, exploraremos el copo de nieve de Koch, el cual es un fractal con un patrón que se repite en cada escala.
Para construir un copo de nieve de Koch, empezamos con un triángulo equilátero y cambiamos cada segmento recursivamente de la siguiente manera: dividimos cada segmento en tres partes iguales, formamos un triángulo equilátero que tiene el segmento del medio como su base y removemos la base del nuevo triángulo formado:
¿Cuál es la figura resultante después de la siguiente iteración?
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Question 2 of 62. Pregunta
El triángulo equilátero original tiene 3 lados. Después de la primera iteración, cada lado del triángulo original se vuelve 4 lados, por lo que la figura tiene 12 lados después de la primera iteración.
En general, después de cada iteración, el número de lados incrementa por un factor de 4.
¿Cuál expresión representa el número de lados después de n iteraciones?
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Question 3 of 63. Pregunta
En la anterior pregunta vimos que, el número de lados después de n iteraciones será \((3)({{4}^n})\). Esto significa que, a medida que el número de iteraciones se acerca a infinito, el número de lados también se acerca a infinito.
Si es que el triángulo original tuviera lados de longitud de 1, los lados después de la primera iteración tendrían longitud de 1/3 ya que los cortamos en 3 pedazos. En cada iteración subsecuente, cortamos cada lado en tres pedazos iguales, de forma que la longitud de los lados después de la iteración n será \(\frac{1}{{{3}^n}}\).
¿Cuál es el perímetro después de n iteraciones?
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Question 4 of 64. Pregunta
Vimos que el perímetro del copo de nieve después de n iteraciones es \(3l{{(\frac{4}{3})}^n}\), en donde l es la longitud de un lado. ¿Qué sucede con el perímetro a medida que el número de iteraciones n se acerca a infinito?
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Question 5 of 65. Pregunta
¿Qué sucede con el área de cualquier copo de nieve a medida que el número de iteraciones se acerca a infinito?
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Question 6 of 66. Pregunta
En las anteriores preguntas vimos que, el perímetro del copo de nieve de Koch es infinito, pero el área es finita.
Calculemos el área del copo de nieve de Koch empezando con el primer triángulo equilátero. Si es que el triángulo tiene lados de longitud l, su área es
El área de la siguiente iteración será el área del triángulo original más el área de los tres triángulos pequeños, cada uno con lados de longitud l/3. Entonces, el área de la segunda iteración es
La longitud de los lados de la tercera iteración serán l/9. En esta iteración añadimos 4 veces más triángulos que la iteración anterior, por lo que el área es
Podemos usar la siguiente notación de sumatorias para el área del copo de nieve:
Esta es la suma de una serie geométrica infinita con un multiplicador que es menor que 1. Usando la fórmula para la suma de una serie geométrica, encontramos
Simplificando, tenemos que el área del copo de nieve de Koch es igual a \(\frac{2\sqrt{3} {{l}^2}}{5}\).
Podemos encontrar el área del copo de nieve de Koch relativo al área del triángulo original:
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