Calculando Límites II

En esta lección, expandiremos las estrategias para calcular límites cuando el límite es finito que vimos en la lección anterior. Nos enfocaremos en límites racionales, límites de radicales, límites de un solo lado y límites de valor absoluto.

Empezaremos con los límites de funciones racionales. La mejor estrategia para encontrar un límite de una función racional es cancelar cualquier factor común en el numerador y denominador con la esperanza de que la expresión se simplifique a una forma en la que podremos sustituir directamente para encontrar el límite.

Usando esta estrategia, encuentra el límite \(\lim_{x\to 2}⁡ \frac{{{x}^2}-x-2}{x-2}\).

En las próximas preguntas, descubriremos que los límites de la forma

miden la tasa de cambio instantánea de f(x) en x=a. A esta expresión se la conoce como la derivada de f(x) en x=a.

Recordando que \({{x}^3}-{{a}^3}=(x-a)({{x}^2}+ax+{{a}^2})\), calcula el siguiente límite (esto es equivalente a calcular la primera derivada):

Ahora exploremos las expresiones radicales y sus límites.

Una estrategia para manipular un límite con una sola expresión radical es multiplicar y dividir por su conjugado dentro del límite. Recuerda que el conjugado de una expresión radical a+√b es a-√b.

Usando esta estrategia, encuentra el siguiente límite el cual es de la forma indeterminada 0/0.

Usa la estrategia del conjugado para calcular la siguiente expresión. La respuesta nos dirá qué tan rápido √x está cambiando en x=a.

Si es que intentamos evaluar la siguiente expresión, encontramos ∞-∞ lo cual sabemos que es una forma indeterminada.

Una estrategia que podemos usar es restar las expresiones racionales al encontrar un denominador común.

Encuentra el límite de la expresión usando esta estrategia.

Si es que evaluamos el siguiente límite, encontramos ∞-∞, la cual es una forma indeterminada. Usa la estrategia del problema anterior para encontrar el límite. La respuesta nos dirá qué tan rápido cambia la función \(\frac{1}{{{x}^2}}\) en el punto x=a.

En los límites que hemos visto, no ha importado si es que nos acercamos al punto a desde la izquierda o desde la derecha.

Sin embargo, hay ocasiones en las que puede haber una gran diferencia al acercarnos al valor a desde la izquierda o desde la derecha. Por ejemplo, cuando consideramos valores muy pequeños y positivos para x, 1/x se acerca a ∞.

Creado con GeoGebra

Sin embargo, cuando consideramos valores muy pequeños y negativos para x, 1/x se acerca a -∞.

Creado con GeoGebra

Cuando queremos especificar el lado de a al que nos estamos acercando, usamos la notación:

para referirnos al límite desde la derecha, sólo valores mayores que a y usamos la notación:

para referirnos al límite desde la izquierda, sólo valores menores que a.

En el ejemplo de arriba, tendríamos:

Calcula \(\lim_{x\to {{(-1)}^{-}}} ⁡ F(x)\) y \(\lim_{x\to {{(-1)}^{+}}}⁡ F(x)\) de la siguiente función definida a trozos:

La función F(x) tiene un salto de discontinuidad en x=-1. Esto significa que, si nos moviéramos a lo largo de la curva, tendríamos que saltar en x=-1 para ir de un pedazo de la función al otro.

Esto significa que, \(\lim_{x\to -1}⁡F(x)\) no existe ya que un límite existe cuando las salidas de una función se acercan a un único valor a medida que nos acercamos al punto límite. En este caso, los valores de F(x) se acercan a ± 1 dependiendo en la manera en la que nos acercamos al punto límite.

Entonces, tenemos:

En esta lección, exploramos algunas estrategias básicas para calcular límites.

Este es un resumen de las estrategias que vimos:

• Expresiones racionales: factoriza y busca una cancelación de términos.

• Expresiones radicales: multiplica y divide por la expresión conjugada dentro del límite.

• Funciones definidas a trozos: calcula los dos límites de cada lado en el punto límite y verifica si es que existen y son iguales.