Calculando Límites I

En la anterior lección, exploramos la continuidad de funciones. Sabemos que \(\lim_{x\to a}⁡ f(x)\) para cualquier función que es continua en a, es simplemente f(a).

¿Cuántas de las siguientes expresiones son verdaderas?

Las combinaciones básicas de límites se comportan de la manera que esperáramos:

• Si es que \(\lim_{x\to a}⁡ f(x)=L\) y \(\lim_{x\to a} g(x)=K\), entonces \(\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))=L+K\).

• Si es que \(\lim_{x\to a} f(x)=L\) entonces \(\lim_{x\to a}⁡ cf(x)=cL\).

• Si es que \(\lim_{x\to a}⁡ f(x)=L\) y \(\lim_{x\to a} g(x)=K\), entonces \(\lim_{x\to a}⁡ f(x)g(x)=LK\).

Sin embargo, recuerda que si es que \(\lim_{x\to a}⁡ f(x)=\infty \) y \(\lim_{x\to a}⁡ g(x)=\infty\), entonces, a pesar de que tenemos \(\lim_{x\to a}⁡ (f(x)+g(x))=\infty\), no podemos concluir nada sobre \(\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))=\infty \).

¿Cuántas de las siguientes expresiones son verdaderas?

Los límites también se comportan con composiciones de funciones. La mejor manera de resolver estos problemas de límites es pensar en lo que pasaría a medida que x se acerca a a.

Por ejemplo, considerando a \(\lim_{x\to \infty} ⁡cos⁡(\frac{1}{{{x}^2}})\) , sabemos que a medida que x se hace muy grande, \(\frac{1}{{{x}^2}}\) se acerca a 0. También sabemos que el resultado de coseno se acerca a 1 ya que es una función continua y cos⁡(0)=1, por lo que el límite es 1.

Usando el razonamiento, ¿a qué son iguales los siguientes límites?

Hagamos una revisión de las formas indeterminadas en el contexto de cálculo de límites.

Cuando nos referimos a \(\frac{0}{0}\) como una forma indeterminada, esto no significa que en verdad dividimos 0 por 0 lo cual es indefinido. Esto significa que hay un límite de fracciones y tanto el numerador como el denominador se acercan a 0. Es una forma indeterminada ya que no sabemos cuál es el límite con esta información, esto depende en qué tan rápido el numerador y el denominador se acercan a 0 relativo el uno con el otro.

Ahora, considerando a la forma \(\frac{5}{0}\), nuevamente, esto no significa que en verdad dividimos por 0. Esto significa que hay un límite de fracciones y el numerador se acerca a 5 y el denominador se acerca a 0. Esta forma no es indeterminada ya que podemos ver claramente cuál es el límite. A medida que el denominador se hace muy pequeño y el numerador se acerca a 5, las fracciones deben hacerse muy grandes por lo que el límite es ∞.

¿Cuántas de las siguientes formas son indeterminadas?, es decir, ¿cuántas no tiene la información suficiente para determinar el límite?

Cuando tenemos las formas indeterminadas \(\frac{0}{0}\) y \(\frac{\infty}{\infty}\) a medida que x→∞, muchas veces podemos usar manipulación algebraica para convertirlas en formas no indeterminadas y calcular el límite.

Por ejemplo, consideremos la forma indeterminada \(\frac{\infty}{\infty}\):

Cuando tanto el numerado como el denominador son polinomios, podemos dividir cada término en la parte superior e inferior por una potencia específica de x. La potencia de x que debemos usar es la más grande que aparece en el denominador, en este caso es x³. Entonces:

Podemos ver que ya no es una forma indeterminada ya que el numerado es una suma de fracciones en donde ambas se acercan a 0 a medida que x se hace grande y el denominador se acerca a 1 a medida que x se hace grande. Por lo tanto, la fracción se acerca a \(\frac{0}{1}=0\).

Podemos aplicar esta idea a cualquier función racional, cualquier función f(x) de la forma \(\frac{g(x)}{h(x)}\) en donde g y h son polinomios.

¿Cuál de las siguientes funciones no satisface \(\lim_{x\to \infty} f(x)=0\)?

Usando las técnicas algebraicas de los anteriores problemas, determina cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos.

Cuando evaluamos \(\lim_{x\to \infty}⁡ \frac{g(x)}{h(x)}\), en donde g y h son diferentes de cero:

A: Si es que grado(g)=grado(h), el límite siempre es la proporción de los coeficientes líderes.

B: Si es que grado(g)>grado(h), el límite siempre es ∞ o -∞.

C: Si es que grado(g)<grado(h), el límite siempre es 0.

Otra técnica útil para tener en cuenta es que los exponenciales dominan a los polinomios a medida que x tiende a ∞. Por ejemplo:

Esta es otra forma indefinida \(\frac{\infty}{\infty}\). Esta expresión no puede ser transformada usando manipulación algebraica, pero podemos notar que a pesar de que el numerador tiene potencias grandes de x, el denominador es una función exponencial y por lo tanto se acerca a ∞ más rápido. El límite es 0.

¿Cuál de las siguientes funciones no tiene un límite de 0 a medida que x→∞?