Asíntotas de Funciones I

En la anterior lección miramos una gráfica que tenía 2 asíntotas, las líneas a las cuales una gráfica se acerca a medida que tiende hacia el infinito.

En esta lección exploraremos las asíntotas más a detalle en el contexto de funciones racionales, es decir cuando tenemos fracciones de dos polinomios como \(y=\frac{x+1}{{{x}^2}+4x+6}\).

Usaremos intuición visual para después desarrollar un sistema para encontrar asíntotas algebraicamente.

Una función racional es una función que contiene fracciones de dos polinomios como \(y=\frac{x+1}{{{x}^2}+4x+6}\). Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales, horizontales o inclinadas.

La función racional más simple es \(y=\frac{1}{x}\). A medida que valores positivos de x se acercan a 0, ¿qué pasa con los valores de y?

¿Cuál es la asíntota vertical de la función \(y=\frac{1}{x-a}\)?

Nota 1: Una asíntota de una curva es una línea a la cual la curva converge, es decir, la curva se acerca a su asíntota. Una curva no puede cruzar una asíntota vertical, pero sí puede cruzar una asíntota horizontal o inclinada.

Creado con GeoGebra

La gráfica de la ecuación \(y=\frac{1}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) se muestra abajo. ¿A qué es igual a×b×c?

Creado con GeoGebra

Una función racional es una fracción y el denominador de una fracción no puede ser 0 ya que no podemos dividir por 0.

Podemos encontrar los valores que x no puede tener, al encontrar los valores de la variable que hacen que el denominador de una función racional sea igual a 0.

Por ejemplo, en la función \(y=\frac{1}{(x+1)(x-3)}\), x no puede ser -1 o 3 ya que estos dos valores hacen que el denominador sea igual a 0. La gráfica de \(y=\frac{1}{(x+1)(x-3)}\) tiene asíntotas verticales en x=-1 y x=3. Observa que las gráficas nunca cruzan asíntotas verticales.

¿Cuáles son las asíntotas verticales de la función \(y=\frac{x+2}{(x+2)(x-3)}\)?

¿Tiene la siguiente función una asíntota vertical?

\(y=\frac{{{x}^2}-5}{x}\)