Aproximación Lineal

En anteriores lecciones, vimos el punto de vista gráfico, el punto de vista de empuje de entradas y el punto de vista simbólico de la diferenciación.

En esta lección, exploraremos el punto de vista de la derivada como una aproximación lineal a la función.

La siguiente gráfica representa a una función con su línea tangente en a. ¿Cuál es la ecuación de esta línea tangente?

Definamos \(L(x)=f'(a)(x-a)+f(a)\).

Entonces, la gráfica de L es la línea tangente a y=f(x) en a. Podemos pensar en L como una aproximación lineal a la función f cerca de a.

La idea es que f tal vez sea muy difícil de calcular, tal vez sea un polinomio de grado alto o una función logarítmica. Por otra parte, las líneas son más fáciles de calcular. Muchas veces, una línea es suficiente para resolver ciertos problemas.

En algunas ocasiones, es muy útil reemplazar una función complicada f por su aproximación lineal.

Veamos una aplicación básica de la aproximación lineal, la aproximación de la función.

Usando aproximación lineal a \(f(x)=\sqrt{x}\) en a=16, estima \(\sqrt{16.8}\).

El método de Newton usa aproximación lineal. Este método es un proceso iterativo que nos permite estimar las raíces de las funciones.

Si es que tenemos una función f y queremos encontrar el punto en donde topa al eje x aproximadamente, podemos intentar adivinar un punto inicial al cual lo llamaremos \(x_{0}\) cerca de la raíz y podemos ver en donde la aproximación lineal en \(x_{0}\) topa al eje x.

¿Cuál expresión representa al punto \(x_{1}\)?

La idea de este método es iterar. Empezamos con un valor adivinado inicial \(x_{0}\) y obtuvimos un punto \(x_{1}\) y luego continuamos: \(x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\), y \(x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\), etc.

En cada etapa, miramos en donde la aproximación lineal a f en \(x_{n}\) tiene una raíz para mejorar nuestra estimación de en dónde f tiene una raíz. En la mayoría de los casos, esas estimaciones se acercarán más y más al verdadero valor de la raíz.

Estima la raíz de \(f(x)={{x}^3}-{{x}^2}+x-2\) al calcular la tercera iteración \(x_{3}\) usando el método de Newton. Empieza con un valor inicial de \(x_{0}=1\).

Es importante tener en cuenta que el método de Newton no siempre funciona ya que muchas veces depende en la estimación inicial de \(x_{0}\).

Considera el método de Newton para estimar la raíz de la siguiente función. ¿Para cuál de las siguientes opciones de estimación inicial de \(x_{0}\) el método de Newton definitivamente fallará en acercarse más y más a la raíz?

Ahora veamos aproximaciones que son mejores que las lineales.

Si es que tenemos que a=0, la fórmula para la aproximación lineal para f en 0 es:

¿es verdad que L y f tienen el mismo valor en 0 y la misma derivada en 0?

Podemos pensar en L, la aproximación lineal a f en 0, w como la línea la cual tiene un valor y una primera derivada que son iguales a las de \(f’\) en 0.

Entonces, si es que queremos encontrar un polinomio de segundo grado que se aproxime a f cerca de 0, tiene sentido encontrar una función cuadrática la cual tenga un valor, primera derivada y segunda derivada que son las mismas que las de \(f’\) en 0.

Esto asegura que no solo las gráficas de f y del polinomio de segundo grado pasen a través del mismo punto, sino que también incrementen decrezcan a la misma tasa y compartan la misma concavidad allí.

¿Qué valores de a, b y c nos dan una cuadrática \(y=a{{x}^2}+bx+c\) que tenga un valor, primera derivada y segunda derivadas en 0 que sean iguales a las de \(f’\)?

En esta lección vimos que, la aproximación lineal a una función en 0 es:

También vimos que la aproximación cuadrática a una función en 0 es:

También es posible encontrar una cúbica que tenga un valor, primera, segunda y tercera derivadas en 0 que son las mismas que las de \(f’\):

Estos polinomios son llamados polinomios Taylor y pueden ser usados para mejorar nuestras aproximaciones de una función.