Aplicaciones de Derivadas

En esta lección, miraremos algunas de las aplicaciones de las derivadas en el mundo real.

En anteriores lecciones vimos que, si la función \(x(t)\) nos indica la posición de un objeto viajando a lo largo de una recta numérica en tiempo t, entonces, \(x'(t)\) nos dice la velocidad de ese objeto.

También vimos que, \(x» (t)\), la tasa de variación de velocidad es denominada la aceleración del objeto. Una aceleración positiva significa que la velocidad está incrementando y una velocidad negativa significa que está decreciendo.

Una bola de cañón es lanzada directamente hacia arriba. La siguiente gráfica representa a su altura como una función de tiempo f(t). ¿Cuál de las siguientes es correcta?

Un objeto se mueve a lo largo de la recta numérica y la siguiente es la gráfica de su velocidad como una función de tiempo. Selecciona todos los enunciados que son verdaderos.

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Las curvas de aprendizaje en teoría de aprendizaje son la cantidad de información que es aprendida como una función del tiempo dedicado a ese aprendizaje.

Imagina que un estudiante está aprendiendo dos idiomas al mismo tiempo y dedica la misma cantidad de tiempo a cada idioma. \(A_{1} (t)\) representa la información aprendida como una función del tiempo para el primer idioma y \(A_{2} (t)\) representa la información aprendida como una función del tiempo para el segundo idioma.

Si es que el segundo idioma es más difícil, ¿cuál esperamos que sea más grande, \(L_{1}'(1)\) o \(L_{2}'(1)\)?

Al aprender una nueva materia o habilidad, muchas veces se dice que esa materia o habilidad tiene una curva de aprendizaje empinada. Esto significa que la materia o habilidad requieren bastante esfuerzo para aprender al principio, lo que corresponde a una derivada pequeña en la curva de aprendizaje.

Las siguientes gráficas representan curvas de aprendizaje para dos materias, las dos miden información adquirida como una función del tiempo dedicado. ¿Cuál de las gráficas corresponde a la materia con la curva de aprendizaje más empinada al principio?

A parte de tener funciones de tiempo, también podemos tener funciones de espacio. Si es que tenemos una función T(x) que nos dice la temperatura x unidades a lo largo de una varilla de metal, entonces, \(T'(x)\) nos dice el factor por el que la temperatura cambia cuando nos movemos un poco hacia la derecha.

Imagina que tenemos una varilla de longitud l y la siguiente es la gráfica de \(y=T'(x)\). ¿Cuál es el punto más frío en la varilla?

Ahora veamos un ejemplo de uso de derivadas en geometría.

Representemos con A(r) al área de un círculo de radio r. Imaginamos que cambiamos la entrada r por una cantidad muy pequeña, ∆r. ¿Por cuánto cambia el área del círculo aproximadamente?

En el anterior problema vimos que, la derivada del área de un círculo es igual a su circunferencia. Esto significa que la tasa de variación del área es la circunferencia de esa área. En próximas lecciones aprenderemos a diferenciar fórmulas como, por ejemplo, A(r)=πr² y \(A'(r)=2\pi r\).

Intentemos lo mismo con un cuadrado. Tenemos que A(l) es el área de un cuadrado con longitud de sus lados l. Cuando l es incrementado hasta l+∆l, ¿por cuánto incrementa el área del cuadrado aproximadamente?