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Números Complejos y Álgebra Avanzada

Explora los números imaginarios, los fractales y la fórmula de Euler.

ALGEBRA

Potencias de Números Imaginarios

 

Al elevar al 2 a potencias incrementales, producimos la siguiente sucesión de números:

                                     {{2}^{1}}=2,~~~{{2}^{2}}=4,~~~{{2}^{3}}=8,~~~{{2}^{4}}=16,~~~{{2}^{5}}=32\ldots

 

Y al elevar a \frac{1}{2} a potencias incrementales, producimos la siguiente sucesión de números:

 

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                                     \frac{1}{{{{2}^{1}}}}=\frac{1}{2},~~~\frac{1}{{{{2}^{2}}}}=\frac{1}{4},~~~\frac{1}{{{{2}^{3}}}}=\frac{1}{8},~~~\frac{1}{{{{2}^{4}}}}=\frac{1}{{16}},~~~\frac{1}{{{{2}^{5}}}}=\frac{1}{{32}}\ldots

 

Vemos que una sucesión siempre incrementa su valor y la segunda sucesión siempre disminuye su valor. Esto es intuitivo ya que en la primera siempre estamos duplicando al número y en la segunda siempre estamos reduciéndolo a la mitad.

Ahora veamos lo que sucede al realizar este tipo de sucesiones con números imaginarios.

El número imaginario i está definido por {{i}^{2}}=-1. Esto significa que ya tenemos los dos primeros valores de la sucesión: i,~-1. Para obtener el valor de {{i}^{3}}, lo escribimos de la siguiente forma:

{{i}^{3}}={{i}^{2}}\times i~~~~~~~

                      =-1\times i

                               =-i

De igual forma, escribimos a {{i}^{4}} de la siguiente manera:

          {{i}^{4}}={{i}^{2}}\times {{i}^{2}}~~~~~~~

      =\left( {-1} \right)\times \left( {-1} \right)

                                 =1

Entonces, tenemos la siguiente sucesión:

         {{i}^{1}}=i,~~~{{i}^{2}}=-1,~~~{{i}^{3}}=-i,~~~{{i}^{4}}=1\ldots

 

Desafío