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GEOMETRÍA

Coloreando Fracciones de Figuras

 

El proceso que es seguido para colorear y dividir el cuadrado es el siguiente: empezando con el cuadrado entero, uno de los cuadrados pequeños es dividido en cuatro partes y una de esas partes es coloreada. ¿Qué fracción del cuadrado será coloreada eventualmente?

 

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Cada vez que seguimos el proceso mencionado arriba, sólo una de las partes más pequeñas es dividida y luego una de esas partes es coloreada. Esto significa que, con cada división, exactamente una parte es coloreada, otra parte será divida en cuartos y dos partes nunca serán coloreadas o divididas.

Para facilitar la resolución, podemos construir el cuadrado por capas. Cada capa está formada por un cuadrado coloreado y dos cuadrados no coloreados. A medida que el cuadrado es construido, cada capa se hace más y más pequeña con lados que tienen la mitad de la longitud de los anteriores.

Dado que cada capa tiene un cuadrado coloreado y dos sin colorear, sabemos que \frac{1}{3} de cada capa es coloreada. Al seguir añadiendo más capas mantendremos esa proporción de la fracción coloreada.

Eventualmente, tendremos un cuadrado completo en donde \frac{1}{3} es coloreado.

 

Desafío